第2章 第9讲 方程解的存在性及方程的近似解（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第9讲　方程解的存在性及方程的近似解 课标要求 考情分析 1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系． 2．理解函数零点存在定理，并能简单应用． 3．了解用二分法求方程的近似解． 考点考法：高考命题常以基本初等函数及其图象为载体，考查函数零点是否存在、存在的区间及个数，利用零点的存在情况求参数是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象． [对应学生用书P45] 1．函数的零点 (1)概念：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点． (2)方程的实数解、函数的图象与x轴的公共点的横坐标、函数的零点三者之间的联系： [导学点清]　函数的零点不是函数y＝f(x)图象与x轴的交点，而是y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数． 2．零点存在定理 条件 (1)函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条__连续__的曲线． (2)__f(a)·f(b)＜0__ 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解 [导学点清]　函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点． 3．二分法 条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条__连续__的曲线． (2)在区间端点的函数值满足__f(a)·f(b)＜0__ 方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使所得区间的两个端点逐步__逼近零点__，进而得到零点近似值 1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) 解析　由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点． 答案　A 2．(零点的概念不清致误)(多选)下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0) B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1 C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点 D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 解析　根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B、D正确，A、C错误． 答案　BD 3．函数f(x)＝ln x－的零点所在区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3) 解析　因为函数f(x)＝ln x－的图象在定义域(0，＋∞)内是一条连续不断的曲线，且f(2)＝ln 2－1＜0，f(e)＝ln e－＝1－＞0，所以必存在x0∈(2，e)，使得f(x0)＝0.所以函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(2，e)，故选C. 答案　C 4．(零点存在定理不熟致误)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 即函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个． 解析　依题意，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，根据零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个． 答案　3 5．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是________． 解析　由条件知f(2)＝0，所以b＝－2a，所以g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)，其零点为0和2. 答案　0和2 1．若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点． 2．f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点． 1．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则下列命题正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点 解析　由f(1)f(2)f(4)＜0知，f(1)，f(2)，f(4)中有一个或三个小于0，∴函数f(x)在区间(0，4)内有零点，故选D. 答案　D 2．函数f(x)＝ex＋3x的零点有________个． 解析　f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点． 答案　1 [对应学生用书P46] 考点一　函数零点所在区间的判定(基础考点　自练自悟) 1．函数f(x)＝e－x－x的零点所在的区间是(　　) A．　　　　 B． C． D． 解析　易知函数f(x)＝e－x－x在(－∞，＋∞)上单调递减，又f＝－＞0，f(1)＝－1＜0，∴ff(1)＜0，∴函数f(x)＝e－x－x的零点所在的区间是.故选D. 答案　D 2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析　令f(x)＝0得x＝ln x. 作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图所示， 显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点． 答案　D 3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________． 解析　对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(2，3)，即n＝2. 答案　2 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 (1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断．适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形． (2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．适用于容易画出函数图象的情形． 考点二　函数零点个数的判定(重难考点　师生共研) 　(1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(4＋x)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则f(x)在区间(0，8)上零点的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　(1)令g(x)＝f(x)－＝0，即有f(x)＝，当x≤0时，＝，解得x＝1，不满足x≤0，所以无解；当x＞0时，|log2x|＝，解得x＝或x＝.所以g(x)的零点有2个．故选C. (2)因为f(4＋x)＝f(x)，所以函数的周期为4，当x∈[0，2]时，令f(x)＝2x－2＝0，得x＝1，即f(1)＝0，因为函数是偶函数且周期为4，所以有f(1)＝f(－1)＝f(3)＝f(7)＝f(－3)＝f(5)＝0，所以f(x)在区间(0，8)上零点的个数为4. [答案]　(1)C　(2)C 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)零点存在定理：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数． (3)利用图象交点个数：作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析　法一(直接法)　由f(x)＝0得或 解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．故选B. 法二(图象法)　函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．故选B. 答案　B 考点三　函数零点的应用(多维探究　师生共研) 角度1　根据零点的个数求参数 　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出函数f(x)的图象，并平移直线y＝－x，如图所示，由图可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．故选C. [答案]　C 角度2　根据函数的零点范围求参数 　函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．0＜a＜3 B．1＜a＜3 C．1＜a＜2 D．a≥2 [解析]　因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内得，f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)＜0，解得0＜a＜3. [答案]　A 利用函数零点求参数(范围)的方法 1．函数f(x)＝2x＋x－5的零点x0∈(a－1，a)，a∈N＋，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　函数f(x)＝2x＋x－5是连续增函数，f(2)＝4＋－5＝－＜0，f(3)＝8＋－5＝＞0，所以函数f(x)＝2x＋x－5的零点在(2，3)内，所以a＝3.故选C. 答案　C 2．已知函数f(x)＝ 若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，1] C．[0，1] D．[1，＋∞) 解析　令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，在同一平面直角坐标系中作出y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示． 由图象知，若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围是(0，1).故选A. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$