第2章 第8讲 函数的图象（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第8讲　函数的图象 课标要求 考情分析 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题． 考点考法：高考命题考查函数图象的识别与辨析、函数图象的画法及应用函数图象研究函数的性质，已知函数解析式选择函数图象是高考热点，常以选择题形式出现． 核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算． [对应学生用书P42] 1．描点法作函数图象的步骤 2．函数图象的变换 [导学点清]　对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．左加右减只针对x本身，与x的系数无关；上加下减指的是在f(x)整体上加减． 1．下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 解析　其图象是由y＝x2图象中x＜0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成，故C符合题意． 答案　C 2．已知图1中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是(　　) A．y＝f(|x|)　　　　　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|) 解析　因为题图2中的图象是在题图1的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的，所以题图2中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|).故选C. 答案　C 3．下列函数，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ln (1－x)　　　　　　 B．y＝ln (2－x) C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x) 解析　y＝ln x的图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B正确．故选B. 答案　B 4．(记错平移法则致误)已知f(x)＝ln (2－x)，把f(x)的图象向左平移2个单位长度，再把图象上每一点的横坐标缩短一半(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________． 解析　根据左加右减原理，把f(x)的图象向左平移2个单位长度可得ln [2－(x＋2)]＝ln (－x)的图象，再把图象上每一点的横坐标缩短一半(纵坐标不变)，得到g(x)＝ln (－2x)的图象． 答案　ln (－2x) 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a＞0. 答案　(0，＋∞) [对应学生用书P43] 考点一　作函数的图象(基础考点　自练自悟) 作出下列各函数的图象． (1)y＝|log2(x＋1)|； (2)y＝； (3)y＝x2－2|x|－1. 解析　(1)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示． (2)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示． (3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示． 函数图象的画法 考点二　函数图象的识别(重难考点　师生共研) 　(1)函数y＝(2x＋2－x)ln |x|的图象大致为(　　) (2)(2023·天津卷)函数f的图象如下图所示，则f的解析式可能为(　　) A．f(x)＝　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ [解析]　(1)记f(x)＝(2x＋2－x)ln |x|，函数的定义域是{x|x≠0}，f(－x)＝(2－x＋2x)ln |x|＝f(x)，函数f(x)为偶函数，排除D； 当－1＜x＜1且x≠0时，2x＋2－x＞0，ln |x|＜0， 即f(x)＜0，排除A、C，故选B. (2)由图知函数图象关于y轴对称，其为偶函数， 由＝－且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当x>0时，>0，>0，即A、C中(0，＋∞)上函数值为正，排除； 故选D. [答案]　(1)B　(2)D 识别函数图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断． 1．(2024·沈阳市教学质量监测)如图是函数H(x)图象的一部分，设函数f(x)＝cos x，g(x)＝|x|＋1，则H(x)可以表示为(　　) A．f(x)＋g(x) B．f(x)－g(x) C．f(x)·g(x) D． 解析　因为f(0)＝g(0)＝1，H(0)＝1，所以H(x)不可能表示为f(x)＋g(x)或f(x)－g(x)，故排除选项A、B；因为f(2π)g(2π)＝2π＋1＞1，所以排除选项C.故选D. 答案　D 2．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　) 解析　函数f(x)＝ 所以y＝g(x)＝f(1－x)＝ 所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0， 故选项A、C错误； 当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减， 故选项D错误，选项B正确． 答案　B 考点三　函数图象的应用(多维探究　师生共研) 角度1　研究函数的性质 　(多选)对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的有(　　) A．f(x＋2)是偶函数 B．f(x＋2)是奇函数 C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增 D．f(x)没有最小值 [解析]　 f(x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误． 作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故函数存在最小值0，C正确，D错误． [答案]　AC 根据图象判断函数性质的基本方法 首先根据函数解析式画出函数图象，然后借助图象分析函数的性质： (1)从图象的最高点、最低点分析函数的极值、最值； (2)从图象的对称性分析函数的奇偶性； (3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性． 角度2　解不等式 　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)＞2f(x)的解集为(　　) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) [解析]　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象如图所示， 由x2f(x)＞2f(x)，得(x2－2)f(x)＞0， 等价于或 解得x＜－2或＜x＜2或－＜x＜0.故不等式解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2). [答案]　C 利用函数的图象解不等式的基本思路 当不等式问题不能用代数法求解但与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解． 角度3　求参数的取值范围 　已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________． [解析]　函数f(x)＝的图象如图所示， 不妨令a＜b＜c， 由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1， 又1＜c＜2 023，所以2＜a＋b＋c＜2 024. [答案]　(2，2 024) 利用函数图象求多个变量的和(或积)的取值范围时，注意结合图象，利用对称性，发现其中两个变量的和(或积)为定值，从而对原式进行转化，再结合图象，确定其余变量的取值范围，即可求得相应范围． 1．(多选)关于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象过原点 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D．f(x)是定义域上的增函数 解析　f(x)＝＝＝1＋，将y＝的图象向右平移1个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，即可得到f(x)＝的图象，如图所示．由图可得A、C正确，故选AC. 答案　AC 2．把函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　把函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln |x＋2－a|的图象，则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2. 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $$