第2章 第7讲 对数与对数函数（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第7讲　对数与对数函数 课标要求 考情分析 1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 考点考法：高考命题常以考查对数的运算性质为主，考查学生的运算能力；对数函数的单调性及应用是考查热点，常以选择题或填空题的形式出现． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P38] 1．对数 (1)对数的概念 ①定义：一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的__对数__，记作__logaN＝b__，其中a叫作对数的__底数__，N叫作__真数__． ②常用对数与自然对数 (2)对数的性质、运算性质与换底公式 ①对数的性质 ＝__N__；logaab＝b(a＞0，且a≠1). ②对数的运算性质 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 loga(M·N)＝__logaM＋logaN__； loga＝__logaM－logaN__； logaMb＝__blogaM__(b∈R). ③换底公式：logab＝____(a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1). 2．对数函数 (1)概念 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，定义域是__(0，＋∞)__． [导学点清]　 对数函数y＝logax的三个特征 (1)底数a＞0，且a≠1. (2)自变量x＞0. (3)系数为1. (2)图象及性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：__(0，＋∞)__ 值域：R 图象过定点__(1，0)__，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 在定义域(0，＋∞)上是__增函数__，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是__减函数__，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 1．(多选)下列各式正确的是(　　) A．＝loga2(a＞1) B．lg 2＋lg 5＝1 C．(ln x)2＝2ln x D．lg ＝lg x 解析　对于A选项，由换底公式，可得＝log36＝1＋log32，故A错误；对于B选项，lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝1，故B正确；对于C选项，(ln x)2＝ln x×ln x≠2ln x，故C错误；对于D选项，lg ＝lg x＝lg x，故D正确．故选BD. 答案　BD 2．(忽视真数大于0致误)函数f(x)＝的定义域是(　　) A．(1，＋∞)　　　　　 B．(2，＋∞) C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析　要使函数f(x)＝有意义，只需即解得x≥2，所以函数f(x)的定义域为[2，＋∞). 答案　D 3．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是(　　) A．[0，2) B．(0，＋∞) C．(0，2) D．[0，＋∞) 解析　f(x)＝log2(1＋2－x)，∵1＋2－x＞1， ∴log2(1＋2－x)＞0，∴函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B. 答案　B 4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是________． 解析　当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2). 答案　(2，2) 5．(忽视底数范围致误)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 解析　分两种情况讨论：①当a＞1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0＜a＜1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝，所以a＝2或a＝. 答案　2或 1．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝. (3)logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax的图象恒过点(1，0)，(a，1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y＝logax与y＝logx(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称． (3)在第一象限内，不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大． 1．如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是(　　) A．0＜c＜b＜1＜a　　　 B．0＜b＜c＜1＜a C．1＜b＜c＜a D．1＜c＜b＜a 解析　作直线y＝1(图略)，则该直线与三个函数图象交点的横坐标为相应的底数，可得0＜c＜b＜1＜a.故选A. 答案　A 2．(2024·抚州模拟)计算：eln 2＋(log23)·(log34)＝________． 解析　原式＝2＋log24＝2＋2＝4. 答案　4 [对应学生用书P40] 考点一　对数的运算(基础考点　自练自悟) 1．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25　　　　　　　 B．5 C． D． 解析　由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝＝log23， 所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4， 故选C. 答案　C 2．若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　) A．－1 B． C． D．1 解析　由2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510， ∴＝lg 2，＝lg 5， ∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. 答案　D 3．计算：lg －lg 8＋lg 7＝________． 解析　原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5 ＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝. 答案　 4．计算：＝________． 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝1. 答案　1 对数运算的常用方法与技巧 (1)将指数式与对数式进行互化，构造同底数的对数或指数式． (2)逆用对数的运算性质，将同底数对数的和、差、倍数化简合并． (3)当对数的底数不同但真数相同时，可以取倒数，将其化为同底数的对数再进行运算． (4)通过换底公式的运用，转化对数的底数，再进行化简合并． 考点二　对数函数的图象及应用(重难考点　师生共研) 　(1)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a＞0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a＞0，b＜－1 B．a＞0，－1＜b＜0 C．0＜a＜1，b＜－1 D．0＜a＜1，－1＜b＜0 (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________． [解析]　(1)因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0＜a＜1，排除A、B.又因为函数f(x)的图象与x轴的交点在正半轴，所以x＝1＋b＞0，即b＞－1，又因为函数f(x)的图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0，排除C.故选D. (2)若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0＜a≤. [答案]　(1)D　(2) 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 1．已知log2a＋log2b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 解析　log2a＋log2b＝0，即log2(ab)＝0，即ab＝1. 当a＞1时，0＜b＜1，函数f(x)＝与g(x)＝logbx均为减函数，四个图象均不满足；当0＜a＜1时，b＞1，函数f(x)＝与g(x)＝logbx均为增函数，排除A、C、D，则在同一坐标系中两函数的图象可能是B，故选B. 答案　B 2．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________． 解析　∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，由图知，在区间[a2，b]中，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2， ∴a＝，∴b＝2，∴＋b＝4. 答案　4 考点三　对数函数的性质及应用(多维探究　师生共研) 角度1　比较对数值的大小 　(2024·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b [解析]　a＝log30.5＜log31＝0，即a＜0； b＝log3π＞log33＝1，即b＞1； 0＝log41＜log43＜log44＝1，即0＜c＜1， ∴a＜c＜b. [答案]　C 比较对数值大小的方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 角度2　解对数方程或不等式 　(1)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg (3x＋1)－1，则不等式f(x)＞0的解集为(　　) A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－3，3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) (2)方程lg (x2－x－2)＝lg (6－x－x2)的解为____________． [解析]　(1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，由f(x)＝lg (3x＋1)－1＞0得x＞3，根据偶函数对称性可知，当x＜0时，f(x)＞0得x＜－3.综上可得，不等式f(x)＞0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞).故选D. (2)由题意及对数函数的性质，得x2－x－2＝6－x－x2，解得x＝±2.又x2－x－2＞0且6－x－x2＞0，解得x＝－2. [答案]　(1)D　(2)x＝－2 解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论 logax＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 角度3　对数函数性质的综合应用 　已知函数f(x)＝loga(ax2－x). (1)若a＝，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围． [解析]　(1)当a＝时，f(x)＝log，由x2－x＞0，得x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，利用复合函数单调性可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(2，＋∞). (2)令g(x)＝ax2－x，因为a＞0，且a≠1，所以函数g(x)的图象开口向上，对称轴为x＝.①当0＜a＜1时，要使函数f(x)在区间[2，4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2，4]上单调递减，且g(x)min＝g(4)＞0，即此不等式组无解．②当a＞1时，要使函数f(x)在区间[2，4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2，4]上单调递增，且g(x)min＝g(2)＞0， 即解得a＞，又a＞1， 所以a＞1. 综上，实数a的取值范围为(1，＋∞). 对数函数性质的应用 利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 1．设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a 解析　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c. 答案　A 2．设函数f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|，则f(x)(　　) A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B．是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}， f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|＝ln |x2－9|， 令g(x)＝|x2－9|， 则f(x)＝ln g(x)， 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知， g(x)在(－∞，－3)和(0，3)上单调递减； 在(－3，0)和(3，＋∞)上单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间． 由f(－x)＝ln |(－x)2－9|＝ln |x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数． 答案　A 3．若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析　令u(x)＝x2－ax＋＝＋－，则u(x)有最小值－， 欲使函数f(x)＝loga有最小值， 则有解得1＜a＜， 即实数a的取值范围为(1，). 答案　(1，) 学科网（北京）股份有限公司 $$