第2章 第6讲 指数与指数函数（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第6讲　指数与指数函数 课标要求 考情分析 1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．会画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点． 考点考法：高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指数幂的大小比较为主，常以选择题或填空题的形式出现． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P35] 1．根式与有理数指数幂 (1)根式 ①如果xn＝a，那么__x__叫作a的n次方根； ②式子叫作__根式__，其中n叫作根指数，a叫作被开方数； ③()n＝__a__． 当n为奇数时，＝__a__； 当n为偶数时，＝|a|＝ (2)有理数指数幂 概念 正分数指数幂：a＝____ a＞0，m，n∈N＋，n＞1 负分数指数幂： a＝＝____ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算性质 aα·aβ＝__aα＋β__ a＞0，b＞0，α，β∈Q (aα)β＝__aαβ__ (ab)α＝__aαbα__ 2．指数函数 (1)概念：函数y＝__ax__(a＞0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. [导学点清]　形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a＞0且a≠1)的函数叫作指数型函数，不是指数函数． (2)图象和性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为__R__，值域为__(0，＋∞)__ 图象过定点__(0，1)__ 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 在定义域R上为__增函数__ 在定义域R上为__减函数__ [导学点清]　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 1．已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A．　　　　　　　 B． C．(1，2) D． 解析　设f(x)＝ax，则f(－1)＝a－1＝2，故a＝，所以f(x)＝，则f(3)＝＝，故选D. 答案　D 2．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) 解析　易知f(x)是偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，故A正确． 答案　A 3．(忽略n的范围致误)计算： ＋＝________． 解析　＋＝1＋＋|1－|＝2. 答案　2 4．(忽视底数的取值致误)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析　若a＞1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0＜a＜1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝. 答案　2或 5．不等式＞1的解集为________． 解析　由＞1＝，可得x＜0，故解集为(－∞，0). 答案　(－∞，0) 指数函数图象的特点 1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． 2．函数y＝ax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 3．在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 1．函数y＝e－|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是(　　) 解析　因为y＝e－|x|＝所以函数图象关于y轴对称，且过点(0，1)，y＝e－|x|＞0，函数在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，故C符合，故选C. 答案　C 2．(2024·青岛模拟)若a＞0且a≠1，则函数f(x)＝ax－4＋3的图象恒过的定点的坐标为________． 解析　令x－4＝0，得x＝4，所以f(4)＝a0＋3＝4，所以函数f(x)＝ax－4＋3的图象恒过定点(4，4). 答案　(4，4) [对应学生用书P36] 考点一　指数幂的运算(基础考点　自练自悟) 1．已知x＜0，y＞0，化简：＝(　　) A．－x2y　　　　　　　 B．x2y C．－3x2y D．3x2y 解析　由题意得＝9(x8) (y4) ＝x2·|y|＝x2y. 答案　B 2．已知3a＋2b＝1，则＝________． 解析　因为3a＋2b＝1，所以a＋b＝， 所以原式＝ 答案　 3．化简与求值． 指数幂的运算顺序与原则 考点二　指数函数的图象及应用(一题多变　师生共研) 　(1)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过二、三、四象限，则一定有(　　) A．0＜a＜1且b＜0 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b＜0 (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则实数b的取值范围为________． [解析]　(1)如图所示，从图象上看出其是一个减函数，则0＜a＜1； 图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即a0＋b－1＜0，可得b＜0，所以0＜a＜1且b＜0. (2)作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b，如图所示．由图象可得实数b的取值范围是(0，1). [答案]　(1)A　(2)(0，1) 1．(变条件)将本例(2)改为：若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b 没有公共点，则实数b的取值范围是________． 解析　作出曲线|y|＝2x＋1，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1. 答案　[－1，1] 2．(变设问)将本例(2)改为：若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则实数k的取值范围为________． 解析　因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即实数k的取值范围为(－∞，0]. 答案　(－∞，0] 指数函数的图象及其应用要点 (1)已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断； (2)进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象； (3)根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 考点三　指数函数的性质及应用(多维探究　师生共研) 角度1　比较指数式的大小 　(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c [解析]　由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5<b＝1.010.6， 由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5>c＝0.60.5. 所以b>a>c. 故选D. [答案]　D 比较指数式大小的方法 角度2　解简单的指数方程或不等式 　(1)已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则方程f(x)＝的解是x＝________． (2)已知函数f(x)＝a＋的图象过点，若－≤f(x)≤0，则实数x的取值范围是________． [解析]　(1)因为函数f(x)＝＋a为奇函数且定义域为R，故f(0)＝＋a＝0，解得a＝－，经检验，a＝－符合题意，故f(x)＝，即－＝，解得x＝－1. (2)∵函数f(x)＝a＋的图象过点，∴a＋＝－，即a＝－.∴f(x)＝－＋.∵－≤f(x)≤0，∴－≤－≤0，∴≤≤，∴2≤4x＋1≤3，即1≤4x≤2，∴0≤x≤. [答案]　(1)－1　(2) 指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据：①af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x).②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x). (2)解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解． 角度3　指数型函数性质的综合应用 　已知函数 (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值． [解析]　(1)当a＝－1时， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]. (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 指数型函数问题的求解策略 对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a＞1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若0＜a＜1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间． 1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析　y＝0.4x为减函数，∴0.40.6＜0.40.2＜0.40＝1，又20.2＞1，即a＞b＞c. 答案　A 2．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f＝2x在区间单调递减，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f＝2x在区间上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是. 故选D. 答案　D 3．已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 解析　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2. 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $$