第2章 第5讲 二次函数与幂函数（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第5讲　二次函数与幂函数 课标要求 考情分析 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等). 考点考法：主要考查幂函数与二次函数的图象和性质，常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象． [对应学生用书P31] 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如__y＝xα__(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数y＝xα的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点__(1，1)__和__(0，0)__，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点__(1，1)__，且在(0，＋∞)上单调递减． [导学点清]　 幂函数的特征 (1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数． (2)xα的系数为1. (3)只有一项． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 R R 值域 ____ ____ 单调性 在区间上单调递减； 在区间上单调递增 在区间上单调递增； 在区间上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 [导学点清]　 二次函数系数的特征 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向． (2)－的值决定图象对称轴的位置． (3)c的取值决定图象与y轴的交点． (4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数． 1．(幂函数的定义不明致误)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　) A．64　　　　　　　 B．4 C． D． 解析　设f(x)＝xα，由f(2)＝2α＝，得α＝－1，则f(x)＝x－1，故f(4)＝4－1＝. 答案　D 2．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 解析　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2]. 答案　A 3．(忽视对二次项系数的讨论致误)已知函数f(x)＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．(0，20) B．[0，20) C．[0，20] D．[20，＋∞) 解析　当a＝0时，f(x)＝5＞0成立；当a≠0时，则 解得0＜a＜20.综上，0≤a＜20.故选B. 答案　B 4．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是________． 解析　函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴，又函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t≤1. 答案　(－∞，1] 5．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是____________． 解析　由0≤a＋1＜3－2a，得－1≤a＜. 答案　 1．幂函数y＝xα的图象在第一象限内的变化规律 (1)直线x＝1的右侧，图象由上至下，指数α由大到小． (2)y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α由小到大． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 1. 若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m C．－1＜m＜0＜n D．－1＜n＜0＜m＜1 解析　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1.当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1. 答案　D 2．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)，若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，则实数a的值为________． 解析　因为f(x)在(－∞，a]上单调递减，所以f(x)在区间[1，a]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝6－2a＝a，f(x)min＝f(a)＝－a2＋5＝1，解得a＝2. 答案　2 [对应学生用书P33] 考点一　幂函数的图象与性质(基础考点　自练自悟) 1. 已知幂函数y＝x(p，q∈N＋，q＞1且p，q互质)的图象如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且＞1 B．q为偶数，p为奇数，且＞1 C．q为奇数，p为偶数，且＞1 D．q为奇数，p为偶数，且0＜＜1 解析　由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数． 因为幂函数y＝x的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜＜1. 答案　D 2．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析　因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c. 答案　D 3．幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________． 解析　由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2. 答案　2 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 考点二　二次函数的解析式(一题多变　师生共研) 　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． [解析]　法一(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)，所以二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＝， 所以h＝. 又根据题意函数有最大值8，所以k＝8， 所以f(x)＝a＋8. 又f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零点式) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数f(x)的最大值为8，所以a＜0，且＝8，解得a＝－4.故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 1．(变条件)将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式． 解析　设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0).因为函数f(x)的最大值为8， 所以a＜0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8，所以a＝－8，所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x. 2．(变条件)将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式． 解析　因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意的x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为直线x＝2. 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为x1＝1和x2＝3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0). 又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1. 所以f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 确定二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 考点三　二次函数的图象与性质(多维探究　师生共研) 角度1　二次函数的图象 　(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b [解析]　因为题图与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确． [答案]　AD 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 角度2　二次函数的单调性与最值 　已知f(x)＝ax2－2x＋1. (1)若f(x)在[0，1]上单调，求实数a的取值范围； (2)若x∈[0，1]，求f(x)的最小值g(a). [解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝－2x＋1单调递减； 当a＞0时，f(x)的对称轴为x＝，且＞0， 所以≥1，即0＜a≤1； 当a＜0时，f(x)的对称轴为x＝，且＜0， 所以a＜0符合题意． 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1]. (2)①当a＝0时，f(x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－1. ②当a＞0时，f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x＝. a．当＜1，即a＞1时，f(x)＝ax2－2x＋1的图象的对称轴在[0，1]内， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝－＋1＝－＋1. b．当≥1，即0＜a≤1时，f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)min＝f(1)＝a－1. ③当a＜0时，f(x)＝ax2－2x＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x＝＜0，在y轴的左侧， 所以f(x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减， 所以f(x)min＝f(1)＝a－1. 综上所述，g(a)＝ 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 1．(2024·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 解析　若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A、D；对于选项B，由直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B. 答案　C 2．函数f(x)＝－3x2＋6x在区间[a，b]上的值域是[－9，3]，则b－a的取值范围是________． 解析　f(x)＝－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3，顶点坐标为(1，3)，因为函数的值域是[－9，3]，令－3x2＋6x＝－9，可得x＝－1或x＝3.又因为函数f(x)＝－3x2＋6x图象的对称轴为x＝1，且f(1)＝3，所以b－a的取值范围为[2，4]. 答案　[2，4] 3．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值． 解析　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. ①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值恒为常数1，不符合题意，舍去； ②当a＞0时，因为函数图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝； ③当a＜0时，因为函数图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3. 综上可知，a的值为或－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$