第2章 第4讲 函数性质的综合应用（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第4讲　函数性质的综合应用 课标要求 考情分析 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论，会利用对称公式解决问题． 2．会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题． 考点考法：以理解函数的对称性、会用函数的对称性为主，常与函数的单调性、周期性与奇偶性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，为中等偏上难度． 核心素养：数学抽象、逻辑推理． [对应学生用书P27] 1．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称． (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称． (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)中心对称． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称． 特别地，当c＝0时，即f(a＋x)＋f(b－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点对称． 1．已知函数f(x＋1)是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＞0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＜a＜c　　　　　　　 B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 解析　由题意知，函数f(x)关于直线x＝1对称，当1＜x1＜x2时，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＞0，则f(x2)＞f(x1)，∴函数f(x)为(1，＋∞)上的增函数，∴a＝f＝f＝f＝f，∵3＞＞2＞1，∴f(3)＞f＞f(2)，因此b＜a＜c.故选A. 答案　A 2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________． 解析　∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，∴f(x)关于直线x＝－2对称，又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，∴f(－4)＝f(0)＞f(1)，故f(－4)＞f(1). 答案　f(－4)＞f(1) [对应学生用书P28] 考点一　函数的对称性(重难考点　师生共研) 　(1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则这6个零点的和为________． [解析]　(1)设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，则P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． (2)∵f(－x)＋f(x＋2)＝0， ∴f(x)的图象关于点(1，0)对称， 又y＝的图象关于点(1，0)对称， ∴函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3＝6. [答案]　(1)A　(2)6 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心． (2)解决与函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 1．设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于直线x＝1对称 D．关于直线y＝1对称 解析　A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误； B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误； C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确； D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误． 答案　C 2．如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为(　　) A．2　　　　　　　 B．3 C．4 D．－1 解析　根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝对称，那么求函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1，3]上的最大值与最小值之和，因为f(x)＝log2(3x－1)在上单调递增，所以f(x)在[1，3]上的最小值与最大值分别为f(1)＝1，f(3)＝3，所以f(1)＋f(3)＝4. 答案　C 考点二　函数性质的综合应用(多维探究　师生共研) 角度1　单调性与奇偶性 　若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] [解析]　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示． 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0. 当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]. [答案]　D 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小； (2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2(或x1＞x2)求解． 角度2　对称性与周期性 　(1)(2024·达州一诊)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2 023)＝(　　) A．1 B．－2 C．－1 D．2 (2)(2024·常德一模)已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(2x＋1)为奇函数，且f(4－x)＝f(x)，(k)＝1，则f(0)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 [解析]　(1)因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.故选D. (2)因为函数f(x)的定义域为R，且函数f(2x＋1)为奇函数，所以f(2x＋1)＝－f(1－2x)， 即函数f(x)的图象关于点(1，0)对称， 所以有f(x)＝－f(2－x)，① 又f(4－x)＝f(x)，② 所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称． 由②得f(3)＝f(4－1)＝f(1)＝0，f(0)＝f(4－0)＝f(4)， 所以f(0)＋f(2)＝f(2)＋f(4)＝0， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0. 又由①和②得f(4－x)＝－f(2－x)，得f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x)， 即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4， 则(k)＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(2)＝1，所以f(0)＝－f(2)＝－1.故选A. [答案]　(1)D　(2)A (1)若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，x＝b，则其周期为T＝2|b－a|(b≠a). (2)若函数y＝f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T＝2|b－a|(b≠a). (3)若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，对称中心为(b，0)，则其周期为T＝4|b－a|(b≠a). 角度3　对称性、周期性与单调性 　(多选)(2024·杭州二中月考)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则(　　) A．f(0)＝f(－2) B．f(x)的周期T＝2 C．f(x)在(2，3)上单调递减 D．f(x)满足f(2 021)＞f(2 022)＞f(2 023) [解析]　由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)图象的对称轴方程为x＝1，所以f(0)＝f(2)，又由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(2＋x)＝f(－x). 因为函数f(x)的图象关于(2，0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正确，B错误． 因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f(x)在(3，4]上单调递增， 又f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减， 则函数f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确． 根据f(x)的周期为4，可得f(2 021)＝f(1)， f(2 022)＝f(2)，f(2 023)＝f(3)，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)，即f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(0)，f(2 023)＝f(－1)， 由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包括x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 021)＞f(2 022)＞f(2 023)不成立，故D错误．故选AC. [答案]　AC 解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式． 1．已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)＝f(2－x)成立，且当x≥1时，f(x)＝2x－1，则(　　) A．f＜f＜f B．f＜f＜f C.f＜f＜f D．f＜f＜f 解析　由题意知，函数f(x)的图象的对称轴方程是x＝1，当x≥1时，f(x)＝2x－1，则函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由f(x)的对称性知f(x)在(－∞，1)上单调递减．∵1－＜－1＜1－，∴f＜f＜f，故选B. 答案　B 2．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2 025)等于(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 解析　∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(－x)＝f(x＋2)， ∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1. 答案　B 3．(多选)(2024·苏北四市第一次调研)设函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b.若f(0)＋f(3)＝－1，则(　　) A．b＝－2 B．f(2 023)＝－1 C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于点对称 解析　由f(2x＋1)为奇函数，得f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，则f(－x＋1)＝－f(x＋1)，∴f(x)的图象关于点(1，0)对称，D错误．由f(x＋2)为偶函数，得f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(x)的周期为4×(2－1)＝4，于是f(－x)＝f(x＋4)＝f(x)，C正确．在f(－x＋1)＝－f(x＋1)中，令x＝0，得f(1)＝0，由x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b，可得f(0)＝1＋b，f(1)＝a＋b＝f(3)＝0，又f(0)＋f(3)＝－1，∴f(0)＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正确．f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝0，B错误．综上，选AC. 答案　AC 学科网（北京）股份有限公司 $$