第2章 第3讲 函数的奇偶性、周期性（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第3讲　函数的奇偶性、周期性 课标要求 考情分析 1．了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的奇偶性、周期性及其应用．函数的奇偶性与单调性、周期性和综合问题是高考热点，常以选择题的形式出现． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象． [对应学生用书P24] 1．函数的奇偶性 类别 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，都有－x∈D，且__f(－x)＝f(x)__，那么称f(x)为偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，都有－x∈D，且__f(－x)＝－f(x)__，那么称f(x)为奇函数 图象特征 关于__y轴__对称 关于__原点__对称 [导学点清]　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D都有x＋T∈D，且满足__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数y＝f(x)就称作周期函数．非零常数T称作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的__正数__，那么这个最小__正数__就称作f(x)的__最小正周期__． [导学点清]　并非所有周期函数都有最小正周期． 1．(多选)下列函数为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝ln |x| D．y＝2－x 解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数． 答案　BC 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x2－x，则当x＞0时，f(x)＝(　　) A．2x2－x B．2x2＋x C．－2x2－x D．－2x2＋x 解析　当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2x2－x.故选C. 答案　C 3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________． 解析　由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝＝. 答案　 4．(忽视定义域致误)函数f(x)＝是________(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)函数． 解析　由得－1＜x＜0或0＜x＜1，即f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，所以f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 答案　奇 5．(不明奇偶性应用致误)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则满足f(2x＋1)＞f的x的取值范围是________． 解析　因为f(x)是偶函数，所以由f(2x＋1)＞f可得f(|2x＋1|)＞f，又f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|2x＋1|＜，解得x∈. 答案　 1．函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 1．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，若f(1)＜f(ln x)，则x的取值范围是(　　) A．(e，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－e)∪(e，＋∞) D．∪(e，＋∞) 解析　由题意，|ln x|＞1，则x＞e或0＜x＜.故选D. 答案　D 2．(2024·菏泽模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝－f(x)，且当－1≤x＜0时，f(x)＝－x2＋2，则f(2 025)＝________． 解析　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1).又因为f(x)是奇函数，所以f(2 025)＝f(1)＝－f(－1)＝－[－(－1)2＋2]＝－1. 答案　－1 [对应学生用书P25] 考点一　函数奇偶性的判断(重难考点　师生共研) 　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ [解析]　(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (2)由得－2＜x＜2， 即函数f(x)的定义域是{x|－2＜x＜2}，关于原点对称． 因此f(x)＝＝lg (4－x2)， 所以f(－x)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数． (3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (4)法一(定义法)　当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 法二(图象法)　如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． 判定函数奇偶性的两种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 设函数f(x)＝，则下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1　　　　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析　法一　因为f(x)＝＝－1＋，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B. 法二　因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝－1＝－，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称．故选B. 答案　B 考点二　函数的奇偶性的应用(多维探究　师生共研) 角度1　利用奇偶性求值(解析式) 　(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋ax＋a＋1，则f(－2)等于(　　) A．－2 B．2 C．－6 D．6 (2)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x＜0时，f(x)等于(　　) A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1 C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1 [解析]　(1)因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当x≥0时，f(x)＝x2－x，则f(－2)＝－f(2)＝－2. (2)当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝2－x－x－1. 因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1. [答案]　(1)A　(2)D 角度2　利用奇偶性解不等式 　函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．[－1，3] C．[0，2] D．[1，3] [解析]　f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝－1.又f(x)是增函数，－1≤f(x－1)≤1，所以f(－2)≤f(x－1)≤f(2)，则－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3. [答案]　B 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解 析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 求函 数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求参 数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解 解不 等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解 1．(2023·全国甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝________． 解析　因为y＝f＝2＋ax＋sin ＝2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R， 所以f＝f，即2－a＋cos ＝2＋a＋cos ， 则πa＝2－2＝2π，故a＝2， 此时f＝2＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x， 所以f＝2＋1＋cos ＝x2＋1＋cos x＝f， 又定义域为R，故f为偶函数，所以a＝2. 答案　2 2．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x，则f(x)在R上的解析式为____________________________． 解析　由已知得，当x＝0时，f(0)＝0，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝e－x－x.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋x， 所以f(x)＝ 答案　f(x)＝ 考点三　函数的周期性(重难考点　师生共研) 　(1)函数f(x)在R上满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　) A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 (2)(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且f为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)是周期为3的周期函数 D．f(0)＋f(1)＋…＋f(2 025)＝0 [解析]　(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的周期函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5，故选C. (2)因为f(x)＝－f， 所以f＝－f＝－f(x＋3)， 所以f(x)＝f(x＋3)，所以f(x)是周期为3的周期函数，所以C正确； 因为f(－1)＝1，f(0)＝－2，所以f(2)＝f(－1)＝1，f(3)＝f(0)＝－2，因为f为奇函数，所以f＝－f，所以f(－x)＝－f，所以f＝－f(－2)＝－f(1).因为f(x)＝－f，所以f＝－f(2)＝－1，所以f(1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＝－2＋1＋1＝0，所以f(0)＋f(1)＋…＋f(2 025)＝f(2 025)＝f(0)＝－2，所以D错误； 因为f(1)＝1，f(－1)＝1，所以f(x)不可能为奇函数，所以A错误； 因为f(－x)＝－f且f(x)是周期为3的周期函数，所以f(－x)＝－f＝－f＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以B正确． [答案]　(1)C　(2)BC 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 1．函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f(2 025)＝________． 解析　由f(x－2)＝f(x＋2)知f(x)的周期为4，故f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝1. 答案　1 2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有________个． 解析　当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点． 答案　5 学科网（北京）股份有限公司 $$