第2章 第2讲 函数的单调性与最值（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第2讲　函数的单调性与最值 课标要求 考情分析 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值． 2．理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用． 考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查对函数单调性的判断，利用单调性比较大小、解不等式、求函数的最值．函数单调性的应用是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P21] 1．函数的单调性 (1)单调递增和单调递减 类别 单调递增 单调递减 定义 设函数y＝f(x)的定义域是D，如果对于任意的x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有__f(x1)＜f(x2)__，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有__f(x1)＞f(x2)__，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 图象 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上__单调递增__或__单调递减__，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有(严格的)单调性．此时，区间I为函数y＝f(x)的__单调区间__． [导学点清]　(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)有多个单调区间应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，若存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有__f(x)≤M__； (2)∃x0∈D，使得__f(x0)＝M__ (1)∀x∈D，都有__f(x)≥M__； (2)∃x0∈D，使得__f(x0)＝M__ 结论 M为最大值 M为最小值 [导学点清]　(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 1．下列函数在R上是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析　取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意．故选D. 答案　D 2．(忽视函数的定义域致误)y＝＋1在[3，4]上的最大值为(　　) A．2 B． C． D．4 解析　因为y＝＋1在[3，4]上单调递减， 所以当x＝3时，y取得最大值为＋1＝2. 答案　A 3．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为________． 解析　结合图象易知函数y＝f(x)的单调递增区间为[－1，1]和[5，7]. 答案　[－1，1]和[5，7] 4．(混淆“单调区间”与“在区间上单调”致误)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是________． 解析　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由题意得1－a≥4，解得a≤－3. 答案　(－∞，－3] 5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 解析　因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即 k＜－. 答案　 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增． (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质 (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． 1．(多选)若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)与f(x)－c(c为常数)具有相同的单调性 B．函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性 C．若f(x)≠0，则函数f(x)与－具有相反的单调性 D．若函数f(x)，g(x)都是减函数，则f(x)＋g(x)是减函数 解析　对于A，根据图象进行上下平移，单调性不变，A正确；由常用结论2可知选项B，C错误，D正确．故选AD. 答案　AD 2．(2024·新余模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b，都有(a－b)·[f(a)－f(b)]＞0，则不等式f(3x－1)＞f(x＋5)的解集为(　　) A．(－∞，3)　　　　　 B．(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析　不妨设a＞b，因为(a－b)[f(a)－f(b)]＞0，所以f(a)＞f(b)， 故f(x)是R上的增函数，所以原不等式等价于3x－1＞x＋5，解得x＞3.故选B. 答案　B [对应学生用书P22] 考点一　函数的单调性(多维探究　师生共研) 角度1　求具体函数的单调区间 　(1)已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　) A．(－2，＋∞)　　　　　 B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－2) (2)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________． [解析]　(1)由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减可知a＜0，∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，∴g(x)的单调递增区间为(－∞，2).故选C. (2)由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1). [答案]　(1)C　(2)[0，1) 确定函数的单调区间的方法 角度2　判断或证明函数的单调性 　已知a＞0，函数f(x)＝x＋(x＞0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增． [证明]　设x1＞x2＞0，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝， 因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0，x1x2＞0. 当x1，x2∈(0，]时，0＜x1x2＜a， 所以x1x2－a＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(0，]上单调递减； 当x1，x2∈[，＋∞)时，x1x2＞a， 所以x1x2－a＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在[，＋∞)上单调递增． 定义法证明或判断函数单调性的步骤 [提醒]　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． 1．下列函数在区间(－1，1)上单调递减的是(　　) A．y＝2－x B．y＝|x| C．y＝ln (x＋1) D．y＝cos x 解析　由于y＝2－x＝在区间(－1，1)上单调递减，故A正确； y＝|x|在区间(－1，0)上单调递减，在区间[0，1)上单调递增，故B错误； y＝ln (x＋1)在区间(－1，1)上单调递增，故C错误； 由余弦函数的图象和性质，可得y＝cos x在区间(－1，0)上单调递增，在区间[0，1)上单调递减，故D错误．故选A. 答案　A 2．函数f(x)＝2－x2－2x的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 解析　f(x)＝2－x2－2x分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，根据复合函数单调性得到函数f(x)＝2－x2－2x在(－∞，－1)上单调递增． 答案　B 考点二　函数的最值(重难考点　师生共研) 　(1)函数f(x)＝的值域为____________． (2)函数y＝x＋的最小值为________． [解析]　(1)法一(图象法)　作出函数f(x)＝的图象(如图所示)，f(x)max＝f(0)＝2.由函数图象可知，f(x)的值域为(－∞，2]. 法二(单调性法)　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.综上，函数f(x)的最大值为2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2]. (2)法一(换元法)　令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝＋.又因为t≥0，所以y≥＋＝1，故函数y＝x＋的最小值为1. 法二(单调性法)　由题易得x－1≥0，即x≥1.因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1. [答案]　(1)(－∞，2]　(2)1 求函数最值的三种常用方法 1．函数y＝的值域是________． 解析　y＝＝＝＋. 令t＝(t≥1)，则y＝t＋≥2＝2 ，因此函数的最小值为2，函数无最大值．即函数的值域是[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) 2．函数y＝f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________． 解析　函数f(x)＝ 作出函数f(x)的图象如图所示．根据图象可知，函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞). 答案　[3，＋∞) 考点三　函数单调性的应用(多维探究　师生共研) 角度1　比较函数值的大小 　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c [解析]　由题意可得f(x)在(1，＋∞)上单调递减且f＝f.因为1＜2＜＜e，所以f(2)＞f＞f(e)，即b＞a＞c. [答案]　D 比较函数值的大小的方法 利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小． 角度2　解函数不等式 　已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是________． [解析]　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)＜2得，f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－＜x＜－2或2＜x＜. [答案]　(－，－2)∪(2，) 利用函数单调性解不等式的具体步骤 (1)将函数不等式转化为f(x1)＞f(x2)的形式； (2)确定函数f(x)的单调性； (3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”，转化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的不等式，从而得解． 角度3　求参数的范围(值) 　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(0，1) D．(0，1] [解析]　因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得0＜a≤， 所以实数a的取值范围为. [答案]　B 利用函数的单调性求参数的方法 (1)根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解； (2)对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 1．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则实数a的值为(　　) A．－2 B．2 C．－6 D．6 解析　f(x)＝|2x＋a|＝易知f(x)的单调递增区间是，则－＝3，所以a＝－6. 答案　C 2．已知函数y＝f(x)在R上单调递减，令g(x)＝f(x)－ex，若g(t)＜g(4－t)，则实数t的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(2，＋∞) D．(－∞，2) 解析　由题意得函数g(x)＝f(x)－ex在R上单调递减，由g(t)＜g(4－t)，得t＞4－t，解得t＞2.故实数t的取值范围是(2，＋∞).故选C. 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $$