第2章 第1讲 函数的概念及其表示（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第1讲　函数的概念及其表示 课标要求 考情分析 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域、值域．分段函数是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． 核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P18] 1．函数的有关概念 (1)函数的概念 (2)函数的表示法 表示函数的常用方法：__解析法__、__图象法__、__列表法__． [导学点清]　(1)在函数定义中，集合B不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集合B的子集． (2)两个函数的定义域和对应关系相同，表示同一个函数，但若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y＝x2(x≥0)与y＝x2. 2．分段函数 若函数在其定义域的__不同的__子集上，因对应关系不同而分别用几个__不同的式子__来表示，这种函数称为分段函数． [导学点清]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 1．下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A．y＝()2　　　 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 答案　B 2．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．－1 B． C．－ D．1 解析　因为－1≤1，所以f(－1)＝(－1)2－(－1)＝2，因为f(－1)＝2＞1，所以f(f(－1))＝f(2)＝＝－1. 答案　A 3．函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析　由题意得解得x∈(－∞，0)∪(0，1]． 答案　(－∞，0)∪(0，1] 4．(注意换元法等价)函数f＝，则函数f(x)的解析式为________． 解析　令t＝，t≠0，－1.则有x＝，所以f(t)＝＝，t≠0，－1，所以f(x)＝，x≠0，－1. 答案　f(x)＝(x≠0，－1) 5．(忽视定义域致误)已知函数f(x)＝则f(x)的值域为________． 解析　当x≤1时，f(x)＝x2＋2，所以f(x)∈[2，＋∞)；当x＞1时，f(x)＝，所以f(x)∈(0，1).综上，f(x)的值域为(0，1)∪[2，＋∞). 答案　(0，1)∪[2，＋∞) 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，而函数的值域为B的子集． 3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 解析　①中，当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，不是函数图象；②中，当x＝x0时，y的值有两个，不是函数图象；③④中，每一个x的值对应唯一的y值，是函数图象．故选B. 答案　B 2．(多选)下列判断正确的有(　　) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．f(x)＝3x2－2x＋1与g(t)＝3t2－2t＋1是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f＝0 解析　对于A，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，若函数y＝f(x)在x＝1处有定义，则f(x)的图象与直线x＝1的交点有1个；若函数y＝f(x)在x＝1处没有定义，则f(x)的图象与直线x＝1没有交点，故B正确；对于C，函数f(x)与g(t)的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，由题意可得f＝0，所以f＝f(0)＝1，故D错误．故选BC. 答案　BC [对应学生用书P19] 考点一　函数的定义域(重难考点　师生共研) 　(1)函数y＝的定义域为(　　) A．(－4，－1)　　　　　　 B．(－4，1) C．(－1，1) D．(－1，1] (2)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．(－∞，－2)∪(－2，3] B．(－8，－2)∪(－2，1] C.∪(－2，0] D． [解析]　(1)由题意得解得－1＜x＜1，故定义域为(－1，1). (2)∵f(x)的定义域为[－8，1]， ∴解得－≤x≤0，且x≠－2.∴g(x)的定义域为∪(－2，0]. [答案]　(1)C　(2)C 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．求抽象函数定义域的方法 1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(1，3] B．(1，2)∪(2，3] C．(1，3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3) 解析　由题意知所以1＜x＜2或2＜x≤3，所以函数的定义域为(1，2)∪(2，3]. 答案　B 2．如果函数f(x)＝ln (－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　因为－2x＋a＞0，所以x＜，所以＝1，所以a＝2. 答案　D 3．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________． 解析　因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]. 答案　[－1，2] 考点二　函数的解析式(重难考点　师生共研) 　求下列函数的解析式． (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． [解析]　(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)∵f＝x2＋＝－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数， 可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7. (4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 求函数解析式的四种方法 (1)待定系数法：适用于已知函数的类型，先设出解析式，再利用恒等式等号两边的系数相等求解． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． (4)消去法：已知关于f(x)与f(或f(－x))的关系式，根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，消去f(或f(－x))求出f(x). 1．已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝x＋2，则f(x)＝________． 解析　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋(k＋1)b＝x＋2， 故解得故f(x)＝x＋1. 答案　x＋1 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________． 解析　因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1， 所以f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x2－x. 答案　－x2－x 考点三　分段函数(多维探究　师生共研) 角度1　分段函数求值 　(1)已知函数f(x)＝若f＝－6，则实数a＝________，f(2)＝____________． (2)已知函数f(x)＝则f(5)＝________． [解析]　(1)由题意得，f＝3×＋1＝3，所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6， 所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6. (2)由题意得f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝. [答案]　(1)－5　－6　(2) 求分段函数函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 角度2　分段函数与方程、不等式问题 　已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的取值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________． [解析]　若f(a)＝4， 则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2，则或 解得－3≤a＜－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). [答案]　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 分段函数与方程、不等式问题的求解思路 解分段函数的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 1．已知f(x)＝则f＋f的值为(　　) A． B．－ C．－1 D．1 解析　f＝f＋1＝f＋1＝cos ＋1＝， f＝cos ＝cos ＝－， ∴f＋f＝－＝1. 答案　D 2．设函数f(x)＝若f(a)≥0，则实数a的取值范围是________． 解析　当a≤0时，f(a)＝a2＋2a≥0，解得a≤－2或a≥0，所以此时有a≤－2或a＝0；当a＞0时，f(a)＝lg (a2＋1)≥0，解得a∈R，所以此时有a＞0.综上可知，a≤－2或a≥0. 答案　(－∞，－2]∪[0，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$