第1章 第4讲 基本不等式（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第4讲　基本不等式 课标要求 考情分析 1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题． 考点考法：本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，中高档难度． 核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模． [对应学生用书P10] 1．基本不等式(又称均值不等式)：≥ (1)基本不等式成立的条件是__a＞0，b＞0__． (2)等号成立的条件是：当且仅当__a＝b__时，等号成立． (3)其中，称为正数a，b的__算术平均值__，称为正数a，b的__几何平均值__． [导学点清]　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 2．基本不等式与最值 已知x，y均为正数，则 (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当__x＝y__时，xy取得最大值____． (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当__x＝y__时，x＋y取得最小值__2__． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． [导学点清]　应用基本不等式求最值时应尽量避免多次运用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证它们的等号成立的条件一致． 1．(忽视应用条件致误)当x＜0时，函数y＝x＋(　　) A．有最大值－4　　　　 B．有最小值－4 C．有最大值4 D．有最小值4 解析　y＝x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立． 答案　A 2．函数y＝x(3－x)的最大值为(　　) A．3 B． C． D． 解析　y＝x(3－x)≤＝，当且仅当x＝3－x，即x＝时等号成立． 答案　B 3．下列函数中，最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0＜x＜π) C．y＝4ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0＜x＜1) 解析　A中x的范围为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若y＝sin x＋(0＜x＜π)取得最小值4，则sin2x＝4，显然不成立；D中由于0＜x＜1，则log3x∈(－∞，0)，y＝log3x＋logx3＝log3x＋没有最小值；C中y＝4ex＋e－x＝4ex＋≥4，当且仅当4ex＝e－x，即x＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C. 答案　C 4．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． 解析　因为x≥0，所以x＋1＞0，＞0，利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立．所以函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1. 答案　1 5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 解析　设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时等号成立． 答案　25 m2 1.≥. 2.＋≥2(ab＞0). 3.≤≤≤ (a＞0，b＞0). 1．函数f(x)＝(x＞0)的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析　f(x)＝＝x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，故f(x)的最小值为3.故选B. 答案　B 2．若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则a2＋b2的最小值为____________，＋的最大值为________． 解析　由基本不等式≤ ，可得 ≥，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立；≤ ＝，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 答案　　 [对应学生用书P11] 考点一　利用基本不等式求最值(多维探究　师生共研) 角度1　配凑法 　(1)(2024·廊坊高三检测)已知a＞1，则2a＋的最小值是(　　) A．5　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 (2)已知0＜x＜，则x的最大值为____________． [解析]　(1)因为a＞1，所以a－1＞0.2a＋＝2(a－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当2(a－1)＝，即a＝2时等号成立，则2a＋的最小值为6，故选B. (2)因为0＜x＜，所以1－2x2＞0，x＝·x≤·＝，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立． [答案]　(1)B　(2) 角度2　常数代换法 　(1)已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A． B． C．5 D．9 (2)已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　) A．3 B．9 C．16 D．25 [解析]　(1)＋＝(a＋b)＝≥×(4＋5)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立．故选B. (2)因为4a＋b＝ab，所以＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋. 因为a＞0，b＞0， 所以＋≥2＝4 . 所以a＋b≥9.故选B. [答案]　(1)B　(2)B 1．(变设问)本例中(1)的条件不变，求的最小值． 解析　因为a＋b＝2，所以ab≤＝1，所以≥1. 所以＝1＋＋＋＝1＋＋≥1＋2＋1＝4(当且仅当a＝b时，等号成立). 故的最小值为4. 2．(变设问)本例中(1)的条件不变，求＋的最小值． 解析　因为a＞0，b＞0，且a＋b＝2， 所以(a＋1)＋(b＋1)＝4. 所以[(a＋1)＋(b＋1)]＝1. 所以＋＝[(a＋1)＋(b＋1)] ＝≥＝ . 故＋的最小值为. 常数代换法求最值 对于形如“已知x＋y＝t，求＋的最值”的问题，通常先将＋转化为(x＋y)的形式，再展开利用基本不等式求得最值．即将欲求最值的目标式中的常数用变量替换，构造符合基本不等式应用的条件． 角度3　消元法 　已知x＜0，且x－y＝1，则x＋的最大值是________． [解析]　因为x＜0，且x－y＝1，所以x＝y＋1，y＜－1，所以x＋＝y＋1＋＝y＋＋＋，因为y＋＜0，所以y＋＋＝－≤－，当且仅当y＝－时等号成立，所以x＋≤－，所以x＋的最大值为－. [答案]　－ 消元法求最值 在条件最值问题中，当含有多个变量时，可以根据已知条件，用一个变量表示另一个变量，从而将欲求最值的代数式中的变量减少，只保留一个变量，然后通过拼凑，创造符合基本不等式应用的条件，求得最值． 1．已知x＞2，则函数y＝x＋的最小值是(　　) A．2 B．2＋2 C．2 D．＋2 解析　由题意可知，x－2＞0，∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，∴函数y＝x＋(x＞2)的最小值为＋2. 答案　D 2．(多选)设x＞0，y＞0，则下列结论正确的是(　　) A．不等式(x＋y)≥4恒成立 B．函数f(x)＝3x＋3－x的最小值为2 C．函数f(x)＝的最大值为 D．若x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值为3 解析　因为x＞0，y＞0，x＋y≥2，＋≥2，当且仅当x＝y时，等号同时成立， 故(x＋y)≥4恒成立，所以A正确． 因为3x＋3－x≥2，当且仅当3x＝3－x，即x＝0时等号成立， 又x＞0，所以3x＋3－x＞2，所以B不正确． 因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立， 又f(x)＝＝≤＝， 所以函数f(x)＝的最大值为，所以C正确． 因为x2＋2xy－3＝0，所以y＝，所以2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即x＝1时等号成立，所以D正确．故选ACD. 答案　ACD 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________． 解析　因为a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2.因为＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为. 答案　2　 考点二　基本不等式的变形应用(重难考点　师生共研) 　(多选)设a＞0，b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥2 B．≥ C．≥a＋b D．(a＋b)≥4 [解析]　因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时等号成立，故A中不等式一定成立；因为a＋b≥2＞0，所以≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以≥不一定成立，故B中不等式不一定成立；因为≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，＝＝a＋b－≥2－＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以≥，所以≥a＋b，故C中不等式一定成立；因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时等号成立，故D中不等式一定成立．故选ACD. [答案]　ACD 基本不等式有几种不同的等价形式，掌握好基本不等式的等价变形方法，可以给解题带来方便． 已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　) A． B．＋ C． D． 解析　∵a，b为互不相等的正实数，∴＋＞，＜＝＜， ＜ ＝＜，∴最大的是＋. 答案　B 考点三　基本不等式的实际应用(重难考点　师生共研) 　勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于6 cm，则三角形面积取得最大值时的斜边边长为________cm. [解析]　设直角三角形的直角边长分别为a cm，b cm，则斜边长为 cm，则a＋b＋＝6≥2＋＝(2＋)，则ab≤18(3－2)，则直角三角形面积的最大值为9(3－2)，当且仅当a＝b＝3(2－)时，等号成立，此时斜边长为6(－1)cm. [答案]　6(－1) 利用基本不等式解决实际问题的策略 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为________cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 解析　设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当8x＝， 即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 答案　12 学科网（北京）股份有限公司 $$