第1章 第3讲 不等式的性质（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第3讲　不等式的性质 课标要求 考情分析 1．理解不等式的概念． 2．会比较两个数(式)的大小． 3．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 考点考法：以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行考查． 核心素养：数学抽象、逻辑推理． [对应学生用书P8] 1．比较实数大小的基本事实 (1)文字叙述 如果a－b是正数，那么a__大于__b； 如果a－b等于0，那么a__等于__b； 如果a－b是负数，那么a__小于__b. 反过来也成立． (2)符号表示 a＞b⇔a－b__＞__0； a＝b⇔a－b__＝__0； a＜b⇔a－b__＜__0. 2．不等式的基本性质 性质1　如果a＞b，且b＞c，那么a__＞__c； 性质2　如果a＞b，那么a＋c__＞__b＋c； 性质3　(1)如果a＞b，c＞0，那么ac__＞__bc； (2)如果a＞b，c＜0，那么ac__＜__bc； 性质4　如果a＞b，c＞d，那么a＋c__＞__b＋d； 性质5　(1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac__＞__bd； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac__＜__bd. 特殊地，当a＞b＞0时，an__＞__bn，其中n∈N＋，n≥2. 性质6　当a＞b＞0时，__＞__，其中n∈N＋，n≥2. [导学点清]　(1)同向不等式的两边可以相加，不能相减． (2)一个不等式的两边同时乘同一正数，不等号方向不变；同时乘同一负数，不等号方向改变． 1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是(　　) A．M＞N　　　　　　　 B．M＝N C．M＜N D．无法确定 解析　因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)(a－3)＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝＋＞0，所以M＞N.故选A. 答案　A 2．(忽视不等式成立的条件致误)已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a＋c＞b＋c 解析　当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确；当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B不正确；当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确；由不等式的性质知，选项D正确，故选D. 答案　D 3．已知a，b∈R，若a＞b，＜同时成立，则(　　) A．ab＞0 B．ab＜0 C．a＋b＞0 D．a＋b＜0 解析　因为＜，所以－＝＜0，又a＞b，所以b－a＜0，所以ab＞0. 答案　A 4．比较两数的大小：＋________＋. 解析　因为(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，所以(＋)2＞(＋)2，所以＋＞＋. 答案　＞ 5．若1＜a＜2，2＜b＜3，则的取值范围是________． 解析　由2＜b＜3，得＜＜，又1＜a＜2， ∴1×＜a×＜2×，即＜＜1. 答案　 1．倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜. (2)a＜0＜b⇒＜. (3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 2．分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0). (2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0). 1．(2024·江西高三阶段练习)如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是(　　) A．＜　　　　　　 B．ab＜b2 C．ab＞a2 D．－＜－ 解析　因为a＜b＜0，由不等式的性质可知，－a＞－b＞0，ab＞0，所以－＜－，所以＞，故A错误，D正确；由a＜b＜0，可得ab＞b2＞0，a2＞ab＞0，故B，C错误．故选D. 答案　D 2．下列命题，正确的是________(填序号). ①若a＜b，则ac2＜bc2； ②若b＞a＞0，则＞； ③若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d； ④若ab＞0，a＞b，则＜. 解析　①中，当c＝0时不成立，故①不正确；②中，由分数性质知②正确；③中，因为a＞b，(－c)＜(－d)，不满足不等式的同向可加性，故③不正确；④中，由倒数性质知④正确．综上可知②④正确． 答案　②④ [对应学生用书P9] 考点一　比较两个数(式)的大小(重难考点　师生共研) 　(1)设A＝，B＝，则A与B的大小关系是(　　) A．A＜B　　　　　　 B．A＞B C．仅有x＞0时，A＜B D．以上结论都不成立 (2)若a＝，b＝，则a与b的大小关系是____________． [解析]　(1)(作差法) A－B＝－＝，令A－B＜0，得x＜－4或x＞－2，令A－B＞0，得－4＜x＜－2，所以A，B的大小关系不确定． (2)(作商法)因为a＝＞0，b＝＞0， 所以＝·＝＝＝log89＞1，所以a＞b. [答案]　(1)D　(2)a＞b 判断两数(式)大小的方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④下结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论． 1．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 解析　∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A. 答案　A 2．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________(填“＞”“＜”或“＝”)N. 解析　M－N＝(x2＋y2＋z2)－(2x＋2y＋2z－π)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＋(z2－2z＋1)＋π－3＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.因为(x－1)2≥0，(y－1)2≥0，(z－1)2≥0，π－3＞0，所以M－N＞0，故M＞N. 答案　＞ 考点二　不等式的性质(重难考点　师生共研) 　(多选)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是(　　) A．ad＞bc B．＋＜0 C．a－c＞b－d D．a(d－c)＞b(d－c) [解析]　因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误； 因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0， 所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＝＋＜0，故B正确； 因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故C正确； 因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，故D正确． [答案]　BCD 1．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式恒成立的是(　　) A．＜ B．＞ C．a2＞2b D．a＞b2 解析　对于A，取a＝2，b＝－，则＝，＝－2，此时＞，故A中不等式不恒成立；对于B，取a＝2，b＝，则＝，＝2，此时＜，故B中不等式不恒成立；对于C，取a＝，b＝，则a2＝，2b＝，此时a2＜2b，故C中不等式不恒成立；对于D，由a＞1，b2＜1得a＞b2，故D中不等式恒成立． 答案　D 2．已知a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是(　　) A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞－b，则c－a＜c＋b C．若a＞b，c＜d，则＞ D．若a2＞b2，则－a＜－b 解析　对于A，取a＝4，b＝2，c＝5，则a＞b，c＞b，但a＜c，故A不正确；对于C，当a＞b＞0，c＜0＜d时，＜，故C不正确；对于D，取a＝－1，b＝0，则a2＞b2，但－a＞－b，故D不正确；对于B，因为a＞－b，所以－a＜b，得c－a＜c＋b，故B正确．故选B. 答案　B 考点三　不等式性质的综合应用(一题多变　师生共研) 　设2＜a＜7，1＜b＜2，则a＋3b的取值范围是____________，ab的取值范围是________． [解析]　∵2＜a＜7，1＜b＜2，由同向同正不等式的可乘性，得2＜ab＜14；∵3＜3b＜6，2＜a＜7，由同向不等式的可加性，得5＜a＋3b＜13. [答案]　(5，13)　(2，14) (变设问)本例条件不变，则2a－b的取值范围是____________，的取值范围是________． 解析　∵2＜a＜7，1＜b＜2，∴4＜2a＜14，－2＜－b＜－1，＜＜1，由同向不等式的可加性，得2＜2a－b＜13. 由同向同正不等式的可乘性，得1＜＜7. 答案　(2，13)　(1，7) 利用不等式的性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点： (1)必须严格运用不等式的性质； (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤5，则3x－2y的取值范围是(　　) A．[2，13] B．[3，13] C．[2，10] D．[5，10] 解析　设3x－2y＝m(x＋y)－n(x－y)＝(m－n)x＋(m＋n)y，所以解得即3x－2y＝(x＋y)＋(x－y)，因为－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤5，所以3x－2y＝(x＋y)＋(x－y)∈[2，13]. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$