第1章 第2讲 常用逻辑用语（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第2讲　常用逻辑用语 课标要求 考情分析 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． 考点考法：本部分内容常与集合、函数、不等式等知识交汇考查，属于低频考点．多以选择题、填空题或解答题中某一部分的形式呈现，属于低档题． 核心素养：数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P4] 1．充分条件、必要条件与充要条件 命题 真假 “若p，则q” 为真命题 “若p，则q” 为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出 关系 p__⇒__ q p____ q p__⇔__ q 条件 关系 p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p不是q的__充分__条件，q不是p的__必要__条件 p是q的__充分且必要__条件，简称__充要__条件 [导学点清]　(1)A是B的充分不必要条件⇔A⇒B，且BA. (2)A的充分不必要条件是B⇔B⇒A，且AB. 2．全称量词和存在量词 类别 全称量词 存在量词 量词 所有、每一个、任意 有些、有一个、存在 符号 ∀ ∃ 命题 在给定集合中，断言__所有__元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题 在给定集合中，断言__某些__元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题 [导学点清]　(1)全称量词是“全部”的含义，不能有例外． (2)存在量词是“部分”的含义，不能是“全部”． 3．全称量词命题和存在量词命题的否定 命题 命题的否定 结论 全称量词命题∀x∈M， x具有性质p(x) __∃x∈M，x不具有性质p(x)__ 全称量词命题的否定是__存在量词命题__ 存在量词命题∃x∈M， x具有性质p(x) __∀x∈M，x不具有性质p(x)__ 存在量词命题的否定是__全称量词命题__ [导学点清]　对没有量词的命题进行否定时，要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． 1．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0　 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1 C．∃x∈R，2x＜0 D．∃x∈R，tan x＝2 解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；因为2x＞0，所以C选项错误；因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确． 答案　BD 2．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立； 由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立； 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． 故选B. 答案　B 3．在△ABC中，“cos A＜cos B”是“A＞B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当cos A＜cos B时，因为y＝cos x在(0，π)内单调递减，所以A＞B，所以“cos A＜cos B”是“A＞B”的充分条件； 当A＞B时，因为y＝cos x在(0，π)内单调递减，所以cos A＜cos B，所以“cos A＜cos B”是“A＞B”的必要条件．故选C. 答案　C 4．(2024·芜湖模拟)命题p：∀x＞0，3x＞2x的否定为¬p：________，且¬p是________(填“真”或“假”)命题． 解析　根据题意可得¬p：∃x＞0，3x≤2x，而当x＞0时，恒有3x＞2x，故该命题为假命题． 答案　∃x＞0，3x≤2x　假 5．(理解概念不正确致误)若“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________． 解析　因为“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由图可知m＞3. 答案　(3，＋∞) 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则AB； ③若p是q的必要不充分条件，则BA； ④若p是q的充要条件，则A＝B. 2．命题p与p的否定的真假性相反． 3．p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件，即p⇒q等价于¬q⇒¬p. 1．“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，则