导学微点14 抛物线中的二级结论（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

导学微点14　抛物线中的二级结论 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 答案　ABD 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 谢谢观看 栏目导航 导学微点14　抛物线中的二级结论 1 抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下： 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝ eq \f(p2,4) ，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝ eq \f(p,1－cos α) ，|BF|＝ eq \f(p,1＋cos α) ，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2α) (α为弦AB的倾斜角)； (3) eq \f(1,|FA|) ＋ eq \f(1,|FB|) ＝ eq \f(2,p) ； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 　(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－ eq \r(3) (x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ eq \f(8,3) C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 [解析]　y＝－ eq \r(3) (x－1)过抛物线y2＝2px的焦点，则焦点F(1，0)，p＝2，A正确． 抛物线：y2＝4x，MN倾斜角α＝ eq \f(2π,3) ， MN＝ eq \f(2p,sin2α) ＝ eq \f(4,\f(3,4)) ＝ eq \f(16,3) ，B错误． 以MN为直径的圆一定与准线相切，C正确． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)(x－1)，,y2＝4x，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2\r(3)，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(2\r(3),3)，)) 不妨设M(3，－2 eq \r(3) )，N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3))) ， 则OM＝ eq \r(21) ，ON＝ eq \f(\r(13),3) ，MN＝ eq \f(16,3) ， ∴△OMN不是等腰三角形，D错误．故选AC. [答案]　AC 1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A． eq \f(3\r(3),4) 　　　　　　　 B． eq \f(9\r(3),8) C． eq \f(63,32) D． eq \f(9,4) 解析　通法　由已知得焦点坐标为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)) ，因此直线AB的方程为y＝ eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4))) ，即4x－4 eq \r(3) y－3＝0. 与抛物线方程联立，化简得4y2－12 eq \r(3) y－9＝0， 则yA＋yB＝3 eq \r(3) ，yA·yB＝－ eq \f(9,4) ， 故|yA－yB|＝ eq \r((yA＋yB)2－4yAyB) ＝6. 因此S△OAB＝ eq \f(1,2) |OF||yA－yB|＝ eq \f(1,2) × eq \f(3,4) ×6＝ eq \f(9,4) . 优解　由2p＝3，及|AB|＝ eq \f(2p,sin2α) ， 得|AB|＝ eq \f(2p,sin2α) ＝ eq \f(3,sin230°) ＝12. 原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝ eq \f(3,8) ， 故S△AOB＝ eq \f(1,2) |AB|·d＝ eq \f(1,2) ×12× eq \f(3,8) ＝ eq \f(9,4) . 答案　D 2．(多选)(2024·河北名校联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法一定正确的是(　　) A．|AB|≥8 B．x1x2＝4，y1y2＝－16 C．以AF为直径的圆与直线x＝－2相切 D．若点P(－2，0)，则有kAP＋kBP＝0 解析　因为焦点弦中通径最短为2p＝8，所以|AB|≥8，A正确；根据焦点弦的有关性质，得x1x2＝ eq \f(p2,4) ＝4，y1y2＝－p2＝－16，B正确；以AF为直径的圆与y轴相切，以焦点弦AB为直径的圆与直线x＝－2相切，C错误；设直线AB：x＝my＋2，代入抛物线C：y2＝8x整理，得y2－8my－16＝0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，所以kAP＋kBP＝ eq \f(y1,x1＋2) ＋ eq \f(y2,x2＋2) ＝ eq \f(y1(x2＋2)＋y2(x1＋2),(x1＋2)(x2＋2)) ＝ eq \f(y1(my2＋4)＋y2(my1＋4),(x1＋2)(x2＋2)) ＝ eq \f(2my1y2＋4(y1＋y2),(x1＋2)(x2＋2)) ＝ eq \f(－32m＋32m,(x1＋2)(x2＋2)) ＝0，D正确．故选ABD. $$