第8章 第5讲 第1课时 椭圆及其性质（PPT课件）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

栏目导航 第八章　平面解析几何 * 第八章　平面解析几何 第5讲　椭　圆 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 2.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 01 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 * F1，F2 |F1F2| 4.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 6.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 2b 2a 2c 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 原点 8.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 10.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 12.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 14.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 16.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 18.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 20.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 22.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 课标要求 考情分析 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 考点考法：高考对椭圆考查形式有两种：一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质，常以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在解答题第一问中，难度中等． 核心素养：数学运算、逻辑推理． 30.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 33.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 第1课时　椭圆及其性质 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 02 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 1．椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 __________为椭圆的焦点； __________为椭圆的焦距 |MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2| 栏目导航 第八章　平面解析几何 * [导学点清]　若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为________，长轴长为________ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝________ 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 对称性 对称轴：x轴和y轴；对称中心：________ 离心率 e＝ eq \f(c,a) (0＜e＜1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 栏目导航 第八章　平面解析几何 * [导学点清]　焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． 1．椭圆 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,25) ＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　　) A．6　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．2 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 解析　由椭圆方程 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,25) ＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　A 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 2．已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,4) ＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(2\r(2),3) 解析　由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2 eq \r(2) ，则离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(2),2) . 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　C 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于 eq \f(1,3) ，则椭圆C的方程是(　　) A． eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1 B． eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,\r(3)) ＝1 C． eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 D． eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1 解析　依题意，设椭圆方程为 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，)) 解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为 eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1.故选D. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　D 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 4．(忽视定义中2a＞|F1F2|致误)平面内一点M到两定点F1(－6，0)，F2(6，0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________． 解析　由题意知|MF1|＋|MF2|＝12，|F1F2|＝12，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　线段F1F2 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 5．(忽略隐含条件致误)若方程 eq \f(x2,5－k) ＋ eq \f(y2,k－3) ＝1表示椭圆，则k的取值范围是________． 解析　由已知得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－k＞0，,k－3＞0，,5－k≠k－3，)) 解得3＜k＜5且k≠4. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　(3，4)∪(4，5) 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a. (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2) ＝ eq \f(1,2) |PF1||PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2) ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c). 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 3．焦点弦(过焦点的弦) 焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝ eq \f(2b2,a) . 4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－ eq \f(b2,a2) . 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 解析　椭圆 eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,5) ＝1，其中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，对于A，c＝2，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，故A正确；对于B，椭圆的离心率为e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(2,3) ，故B错误；对于C，由A中结论知，|PF1|的最小值为a－c＝1，故C正确；对于D，由B中结论知，D正确．故选ACD. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　ACD 2．已知椭圆C： eq \f(x2,b2) ＋ eq \f(y2,a2) ＝1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的点，直线PA1和PA2的斜率分别为k1，k2，则满足k1k2＝－4的一个椭圆C的方程是________． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 解析　由题意可知A1(0，a)，A2(0，－a)关于原点对称，点P是椭圆C上异于A1，A2的点，所以k1·k2＝－ eq \f(a2,b2) ＝－4，所以a2＝4b2，所以椭圆C的方程可以为 eq \f(y2,4) ＋x2＝1(只需满足a2＝4b2即可). 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　 eq \f(y2,4) ＋x2＝1(答案不唯一) 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 64.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 67.psd 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 考点一　椭圆的定义及其应用(重难考点　师生共研) 　(1)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,5) ＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若 eq \o(PF1,\s\up14(→)) · eq \o(PF2,\s\up14(→)) ＝0，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)) ＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．5 (2)如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 栏目导航 第八章　平面解析几何 * [解析]　(1)法一　因为 eq \o(PF1,\s\up14(→)) · eq \o(PF2,\s\up14(→)) ＝0，所以∠F1PF2＝90°， 从而＝b2tan 45°＝1＝ eq \f(1,2) × eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)) ， 所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)) ＝2.故选B. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 法二　因为 eq \o(PF1,\s\up14(→)) · eq \o(PF2,\s\up14(→)) ＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2， 所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)) eq \s\up20(2) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)) eq \s\up20(2) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)) eq \s\up20(2) ＝42＝16，又 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)) ＝2a＝2 eq \r(5) ，平方得： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)) eq \s\up20(2) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)) eq \s\up20(2) ＋2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)) ＝16＋2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)) ＝20，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)) ＝2.故选B. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * (2)连接OA，由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r，因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆． [答案]　(1)B　(2)A 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 椭圆定义的应用技巧 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|的值，通过整体代入可求其面积等． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 1．已知椭圆 eq \f(x2,100) ＋ eq \f(y2,36) ＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|＝(　　) A．2 B．4 C．7 D．14 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 解析　如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|OM|＝ eq \f(1,2) |PF2|，由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20， 所以|PF2|＝2a－|PF1|＝20－6＝14，所以|OM|＝7，故选C. 答案　C 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 2．已知F1，F2是椭圆 eq \f(x2,24) ＋ eq \f(y2,49) ＝1的两个焦点，点P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则＝(　　) A．24 B．26 C．22 eq \r(2) D．24 eq \r(2) 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 答案　A 考点二　椭圆的标准方程(多维探究　师生共研) 角度1　定义法 　已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A． eq \f(x2,64) － eq \f(y2,48) ＝1 B． eq \f(y2,64) ＋ eq \f(x2,48) ＝1 C． eq \f(x2,48) － eq \f(y2,64) ＝1 D． eq \f(x2,64) ＋ eq \f(y2,48) ＝1 栏目导航 第八章　平面解析几何 * [解析]　设圆M的半径为r. 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|， 所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆． 因为2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b2＝a2－c2＝48. 故所求的轨迹方程为 eq \f(x2,64) ＋ eq \f(y2,48) ＝1. 栏目导航 第八章　平面解析几何 * [答案]　D (变条件)若将本例题条件中的“和圆C2相外切”改为“和圆C2也内切”，其余不变，则动圆圆心M的轨迹方程为________． 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 03 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第八章　平面解析几何 * 谢谢观看 解析　设圆M的半径为r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(r－3)＝10＞8＝|C1C2|， 所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆． 因为2a＝10，2c＝8，所以a＝5，c＝4，b2＝a2－c2＝9. 故所求的轨迹方程为 eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,9) ＝1. $$