7.2.2 复数的乘、除运算-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 七 章 复数 7.2.2 复数的乘、除运算 1.掌握复数的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.通过复数代数形式的乘法、除法的学习,培养学生的数学运算素养. 教学目标 PART.01 复习导入 温故知新 复数的加法 复数的加减法的运算律 复数的减法 复数的加减法的几何意义 …… (a + bi)-(c + di) = (a - c)+(b - d) i. (a + bi) + (c + di )=(a + c)+(b + d)i. 与多项式的加减法运算律类似 复数的加减法可以按照向量的加减法来进行 问题提出 前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则? PART.02 复数的乘法运算 概念讲解 探究：复数的乘法具体该如何运算？能否类比实数中多项式的运算得到复数乘法运算法则？ 设 是任意两个复数 则 多项式相乘 合并同类项 把 i2 换成－1 概念讲解 复数的乘法法则 设是任意两个复数，那么它们的积 定义 注意： 1、两个复数的积是一个确定的复数； 2、当z1，z2 ∈R时，复数的积就是实数的积； 3、两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在结果中把i2换成﹣1，并且把实部与虚部分别合并即可。 概念讲解 思考：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗? 则z1·z2= (a+bi) ( c+d i ) = ac+ad i+abi +bdi2 = ac+ad i+cbi－bd =(ac－bd)+(ad +cb )i 而z2·z1= ( c+di ) (a+bi) = ca+cb i+adi +bdi2 = ca+cb i+adi－bd =(ac－bd)+(ad +cb )i 所以 z1·z2=z2·z1 (交换律) 设z1 = a+bi, z2 = c+di, z3 = e+fi . (a、 b、c、d、 e、f∈R) 同理易得：(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律) 概念讲解 复数乘法的运算律 有 定义 例题剖析 例1.计算：(1)； (2) 解：(1) (2) 例题剖析 练习：已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i 与 2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2= (　 　) A．5－4 i B．5＋4 i C．3－4 i D．3＋4 i 解：由题意：a=2，b=1 （a+bi）²=（2+i）² =2²+4i+i² =4+4i-1 =3+4i D 例题剖析 练习：计算下列各题： (1－2i)(3＋4i) (－2＋i) 解：原式=（3+4i-6i-8i²）（-2+i） =（11-2i）（-2+i） =-22+11i+4i-2i² =-20+15i 归纳总结 复数的乘法运算 1、两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. 2、常用公式 ①完全平方公式：(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②平方差公式：(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). 反思感悟 PART.03 复数除法运算 概念讲解 探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆算．复数除法的法则如何运算？ (a ,b , c , d∈R ,c-di≠0) 分子分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母“实数化” 分子,分母运用乘法进行化简 化为复数的代数形式 概念讲解 复数除法法则 其中， 且 定义 注意：1、 两个复数的商是一个确定的复数； 2、复数除法的实质即分母“实数化”，类似于无理数的分母有理化； 方法：分子分母同乘以分母的共轭复数。 3、最后的结果要复数的代数形式。