8.4.1平面课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平面 复习导入 前面我们初步认识了简单几何体的组成元素,知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素。 我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系,从而得到了多面体的一些结构特征:(底面、侧面、侧棱) 为了进一步认识立体图形的结构特征,需要对点、直线、平面之间 的位置关系进行研究。 本节课我们先来认识并研究平面及其基本性质。 新知探究 生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象. 你还能从生活中举出类似平面形的物体吗? 新知探究 几何里所说的“平面”()就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的. 概念 理解 1.它是一个只描述而不定义的抽象概念; 平面 直线 平的 直的 无限延展的 无限延展的 无薄厚之分 无粗细之分 2.类比“直线”特征理解“平面”特征: 新知探究 问题1:你可以类比直线的画法给出平面的画法吗? 1.平面的画法 直线的画法:画出直线的一部分来表示直线 平面的画法:画出平面的一部分来表示平面 类比生成 “平面的一部分” 矩形 矩形的直观图 平行四边形 水平平面 竖直平面 相交平面 新知探究 2.平面的表示 平面可以用单个希腊字母表示,并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内; 使用代表平面的平行四边形的四个顶点来表示平面; 使用相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称. 平面、平面、平面 平面 平面, 平面 、、 新知探究 3.点、线、面的位置关系 问题2:空间中最小的元素是什么? “点动成线,线动成面”——直线和平面都可以看成点的集合. 问题3:点、直线、平面之间的关系是什么? A B A B , , 新知探究 4.平面的性质 思考1:我们知道,两点可以确定一条直线,那么几点可以确定一个平面? 过空间中一点可以做几个平面?过空间中两点呢?三点呢? 新知探究 基本事实1 过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面 。 A C B 简记为:不共线的三点确定一个平面 公理作用 确定一个平面的依据 图形语言 符号语言 存在性 唯一性 点与面 平面 新知探究 思考2:如果直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内? 如果直线与平面有两个公共点呢? 否 是 新知探究 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。 (1)判定直线是否在平面内; (2)判定点是否在平面内; A B l 公理作用 图形语言 符号语言 线与面 新知探究 利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”, 可以得到下面三个推论: 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 新知探究 思考3:如图,把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点?为什么? 想象三角尺所在的无限延展的平面,用它去“穿透”课桌面。可以想象,两个平面相交于一条直线。 B 新知探究 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言 符号语言 面与面 公理作用 (1)判定两个平面相交于一条直线; (2)证明点在线上; 练习巩固 题型一:文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 例1:根据下列符号语言画出图形. (1)? ∩? ∩? =? ,? ∩? =? ? ,? ∩? =? ? ,? ∩? =? ? ; (2)? ∩? =? , ? ∩? =? ,? ∩? =? . 练习巩固 大册P85变式训练1 变式1-1:画图表示下列符号语言给出的关系: (1) (2) 练习巩固 大册P86例2 题型二:点、线共面问题 例2:如图所示,已知,,. 求证:直线, , 在同一平面内. 证明(法一:纳入平面法): ∵,∴和确定一个平面. ∵,∴. 又∵,∴. 同理可证. 又∵,,∴. ∴直线,在同一个平面内. 证明(法二:辅助平面法): ∵,∴,确定一个平面. ∵,∴,确定一个平面. ∵,,∴.∵,,∴. 同理可证. ∴不共线的三个点,,既在平面内,又在平面内. ∴平面和重合,即直线,在同一个平面内. 新知探究 小册P46第2题 思考4:空间两两相交的三条直线,可以确定多少个平面? A C B 1或3个平面. 练习巩固 大册P86变式训练2 变式2:已知直线,直线与都相交. 求证:过,有且只有一个平面. 解:如图所示. ∵, ∴过有且只有一个平面. 设,, ∴,,且,, ∴.即过有且只有一个平面. 练习巩固 大册P86例3 题型三:共线问题——三线共点 例3:如图,在正方体中,分别是棱 上的点,若与交于点,求证:三点共线 利用基本事实3:证