8.6.2 直线与平面垂直(第3课时)课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 第3课时 直线与平面垂直的应用 复习与回顾 1.与平面垂直的定义: 一般地，如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α 垂足 平面α 的垂线 直线l 的垂面 其中直线l 叫做平面α 的垂线， 平面α 叫做直线l 的垂面． 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足. 2.直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．即 简述： n m l α P 3.直线与平面垂直的性质 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内 的任意直线 . 即 (1)线面垂直的定义所反映出来的性质： 返回 (2)性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．即 4.直线、平面的垂直、平行的转化 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角, 叫这条直线与平面所成的角. 5.直线与平面所成的角： 并规定： 平面的垂线与平面所成的角为90； 平面的平行直线或在平面内的直线与平面所成的角为0. 6.点面距，线面距，面面距： 斜线 斜足 垂足 斜线的射影 练习 1. 过∆ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA， PB，PC， (1)若PA=PB=PC，则点O为∆ABC 的 心； (2)若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB 边的 点； (3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O为∆ABC 的 心． 2. 过∆ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂 足为O，连接PA，PB，PC，则下列结论确 的有__________ ①线段PA，PB，PC，PO 中，线段PO 最短； ②若PA=PB=PC，则OA=OB=OC； ③若OA=OB=OC，则PA=PB=PC； ④若PA=PB=PC，则PA，PB，PC 和平面α 所成的角相等． ①②③④ 过平面外一点，作平面的垂线段和斜线段 , 则 (1)垂线段和斜线段中，垂线段最短； (2)若斜线段长相等，则斜线在面内的射影长相等； (3)若斜线在面内的射影长相等，则斜线段长相等． 结 论 例析 B C P D A F E H B C P D A F E B C P D A F E 如图，四边形ABCD 是矩形，SA⊥平面ABCD，E 是 SC 上不同于C 的任意一点．那么BE 有没有可能垂直于平面SCD ？ 试用线面垂直或平行的知识进行解释 练习 BE 不可能垂直于平面SCD. 例析 例2. 在三棱锥S-ABC 中，SA⊥底面ABC，若∆ABC 为正三角形，且AB=2，SA=3，求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦. D H S A B C 例2. 在三棱锥S-ABC 中，SA⊥底面ABC，若∆ABC 为正三角形，且AB=2，SA=3，求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦. 取BC 中点D，连结AD，SD, 过A 作SD 垂线交SD 于H, 连结BH . 由SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC 得 SA⊥BC . 又∵AB=AC，D 为BC 中点, ∴BC⊥AD . 由SA∩AD=A，SA、AD ⊂平面SAD得， BC⊥平面SAD .、 ∵ AH ⊂ 平面SAD， ∴ BC⊥AH . ∵AH⊥SD，SD∩BC =D, SD、BC ⊂平面SBC ∴AH⊥平面SBC . 即∠ABH 为AB 与平面SBC 所的角. H S A B C D 练习 如图，直角三角形ABC 所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC＝AC＝2，∠ABC= 90°．求直线SB 与平面ABC 所成的角. 例析 课堂小结 1.什么是直线与平面垂直，如何判定？ 2.直线与与平面垂直的性质有哪些定理？ 3.通过本小节的学习，你对证明线线垂直，线面垂直有什么体会？ 4.在求线面角，点面距的过程中，如何才能作出或找出线面角、点面距.其大致过程是怎样的？ 作业 1. 在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD，M为PD中点，若ABCD为正方形，且AB=6，PA=4。 (1)求直线BM与平面ABCD所成角的正切; (2) 求证：PC⊥BD. 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，AA1=AD=1，E为C1D1中点. (1)求证：DE⊥平面BCE.