21.3 第3课时 几何问题 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

3 实际问题与一元二次方程 第3课时 几何问题 1.通过复习回顾学生可以根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型. 2.通过教师讲解学生可以根据几何图形的周长或面积公式，建立一元二次方程来解决几何问题，培养学生的模型意识. 3.学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能列出一元二次方程，提高学生解决问题的能力. 重点 难点 在一块长32米，宽20米的草地上修筑两条道路，使剩余的草坪的面积为540平方米，请大家画出示意图，求道路的宽. 提起代数，大家会想到什么？ 事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究，特别是对方程解法的研究. 下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，阔及长各几步？” 大家试试解决这个问题 假如有一幅画，长60 cm，宽40 cm，现在要给这幅画的四周裱上同样宽度的木框，使它的总面积达到3500㎡，那么木框的宽度是多少？ 请同学们阅读课本20页探究3并完成下面问题 如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为为540 m²，求道路的宽. 问题：（1）你能用几种方法表示出草坪的面积？ （2）你能用学过的数学知识表述你是如何建立的等量关系吗？ （3）通过这道题，你想到了我们学过的哪种数学方法？ （4）你能列出方程并快速计算出结果吗? 解 ：(1)2种.分别为32×20-(20+32)x+x²,(20-x)(32-x). (4)列方程为(20-x)(32-x)=540,整理得x²-52x+100=0,因式分解得(x-50)(x-2)=0, 解得x₁=50(不合题意，舍去),x₂=2. (2)略. (3)略 小组讨论 上题中，对比你和同学的不同列式情况，你发现了什么快速列式的方法吗？ 小组展示 我提问 我回答 我补充 我质疑 提疑惑：你有什么疑惑？ 越展越优秀 教师讲评 知识点1．面积与几何问题（重点） 如图①，设空白部分的宽为，则 如图②，设阴影道路的宽为，则 如图③，围栏总长为，的长为，则 教师讲评 知识点2．动态几何问题（难点） 1.关键：“以静代动”把动的点进行转换，变为用时间表示长度. 2.方法：时间变路程 3.求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也就是求线段的长度 4.常找的数量关系——面积，勾股定理等 学会把动点问题转化为静点的问题，是解这类问题的关键. 【题型一】篱笆和开门问题 例1 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2m宽的门，另外三边用篱笆围成，篱笆总长33 m. （1）若墙长为18 m，要围成鸡场的面积为150㎡，则鸡场的长和宽各为多少米？ 解：（1）设鸡场的宽为m，根据题意得 ， 解得， 当时，， 当时，（舍去）， 则鸡场的宽是10m，长为15m． （2）围成鸡场的面积可能达到200㎡吗？ 解：设鸡场的宽为ym, 根据题意得y(33-2y+2)=200, 整理得2y²-35y+200=0, 因为(-35)²-4×2×200=1225-1600=-375<0, 所以方程没有实数根，所以围成的鸡场面积不可能达到200m². 变式 如图，有长为30m 的篱笆， 一面靠墙(墙的最大可用 长度为12m), 围成中间隔有一道篱笆(平行于 AB) 的矩形花圃，设花圃的一边AB 为 xm, 面积为ym². (1)用含x的代数式表示y, 并求出x 的取值范围； (2)如果要围成面积为63 m²的花圃， AB 的长是多少?的长是多少？ 解： (1) y=x(30-3x)=-3x²+30x. 由题意得 0<30-3x≤12, 解得6≤x<10. (2)由题意得-3x²+30x=63, 整理，得x²-10x+21=0. 解得x₁=7,x₂=3. 由(1)知6≤x<10, 所以x=7, 所以如果要围成面积为63m²的花圃，AB 的长是7 m. 【题型二】道路问题 如图，在长为 12 m，宽为 8m 的矩形地面上修建同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为77，则道路的宽为________m. 变式 如图，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224㎡，则图中x的值为_______. 1 1 【题型三】动点问题 例3 如图，在Rt△ABC中，，点从点开始沿以的速度向点A移动，同时点Q也从点B开始沿BC以的速度向点移动，几秒后的面积是平cm2？ 解：设s后的