18.2.1 第2课时 矩形的判定 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.2 特殊的平行四边形 第2课时 矩形的判定 四边形 平行 四边形 两组对边 分别平行 一个角 是直角 ∟ 矩形 四边形集合 平行四边形集合 矩形集合 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 温故知新 矩形判定方法1 例1：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，MB=MC， 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D M 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A+ ∠D=180° ，AB=CD. ∵M为边AD的中点， ∴AM=DM. ∴△ABM≌△DCM. ∴ ∠A=∠D=90°， 四边形ABCD是矩形. 又∵ MB=MC， 师傅是怎样知道窗户是矩形的呢? 问题思考 有一个角是直角的 四边形是矩形吗？ 有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？ 有三个角是直角的 四边形是矩形吗？ 探究新知 探究1： 有三个角是直角的四边形是矩形. A B C D 已知：在四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ ∠A= ∠B= ∠C=90°, ∴∠A + ∠B = 180°. ∠B + ∠C = 180°. ∴AD∥BC， AB∥DC. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 矩形判定定理 ∵四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90° ∴□ABCD是矩形 6 例2：已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别相交于点B、D． （1）猜想AC和BD间的关系是_________________； （2）试用理由说明你的猜想． 互相平分且相等 (2) 证明：∵ MN∥PQ, ∴ ∠MAC+ ∠PCA =180°. ∵ AB、CB、AD、CD分别是∠MAC、∠PCA、∠NAC、∠QCA的平分线， ∴ ∠BAD= ×180°=90°， ∠BAC+ ∠BCA = ×180°=90°. ∴ ∠ABC = 90°. 同理，∠ADC = 90°. ∴四边形ABCD是矩形. ∴ AC和BD互相平分且相等. 观察对角线的变化 探究2： 对角线相等的平行四边形一定是矩形吗？ ∵在□ABCD中， AC=BD, ∴□ABCD是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：平行四边形ABCD，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证明: ∵在平行四边形ABCD中，AB=CD， 又BC=BC， AC=BD, ∴ △ABC≌ △DCB（SSS）. ∴ ∠ABC=∠DCB=90°. 又∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是矩形. ∴ ∠ABC=∠DCB. 矩形判定定理 ∵ AB//CD，∴ ∠ABC+∠DCB=180°. （2）有一个角是直角的平行四边形是矩形. （1）有三个角是直角的四边形是矩形. （3）对角线相等的平行四边形是矩形. 矩形的判定方法： 四边形 平行四边形 平行四边形 归纳 工人师傅有一根足够长的刻度尺，如何检验窗框是否成矩形？ 说说你的理由. 四边形 两组对边 分别相等 对角线 相等 平行四边形 矩形 平行四边形 12 1.判断下列说法是否正确? (1)四个角都相等的四边形是矩形.（ ） (2)对角线相等的四边形是矩形. （ ） (3)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形. （ ） ╳ √ ╳ 巩固新知 (4)邻角相等的平行四边形是矩形. （ ） (5)对角线相等且互相平分的四边形是矩形（ ） (6)平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10， 则四边形ABCD是矩形 . （ ） √ √ √ A B C D 2. 具备条件_____的四边形是矩形． A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 3. 能够判断一个四边形是矩形的条件是_____. A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等 C D 例3：已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD.E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵ E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 AD