1.4.2一元二次不等式及其解法课件 -2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.2　一元二次不等式及其解法 　　　一元二次不等式 (1)定义：形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． (2)一元二次不等式的解集：使一元二次不等式________的所有__________的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 成立　 知识点1 基础知识 未知数　 提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式． (2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式． 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 思考2：如何用图解法解一元二次不等式？ 提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤： (1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)求Δ＝b2－4ac； (3)若Δ＜0，根据二次函数的图象直接写出解集； (4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集． 基础自测 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)mx2－5x＜0是一元二次不等式． (　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R． (　　) (3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x1＜x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}． (　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根． (　　) ×　 ×　 ×　 √　 [解析]　(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式． (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅． (3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}． (4)当Δ＜0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根． 2．不等式2x≤x2＋1的解集为 (　　) A．∅　　　　　　　 B．R C．{x|x≠1} D．{x|x＞1或x＜－1} [解析]　将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0， ∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B． B　 3．不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为_______________________． 题型探究 题型一 解一元二次不等式  　　　　解下列不等式． (1)2x2－3x－2＞0； (2)－x2＋2x－3＜0； (3)－3x2＋5x－2＞0． [分析]　根据三个二次之间的关系求解即可． 例 1 [归纳提升]　解一元二次不等式的步骤 (1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式． (2)计算相应的判别式． (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集． 【对点练习】❶　不等式6x2＋x－2≤0的解集为_______________． 题型二 三个“二次”的关系  　　　　已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值． [分析]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值． 例 2 【对点练习】❷　若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集． 题型三 解含有参数的一元二次不等式  　　　　解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0． [分析]　二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数． 例 3 ②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1， ∴原不等式的解集为{x|x≠－1}． ③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1， ∴原不等式的解集为{x|x≠1}． ④当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无实根，故原不等式的解集为R． [归纳提升]　在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0． (2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)． (3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2． 【对点练习】❸　解关于x的不等式ax2－x＞0． 2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0? (1)y＝