双曲线解答题新题演练——2024届高三数学三轮冲刺

双曲线2024.4.10 1．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足. (1)求的方程； (2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点. 3．（2024·山西·一模）已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线. (1)求的标准方程； (2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点； (3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上. 4．（2024·新疆·一模）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2，  是上一点，且，的周长为 12. (1)求C的方程; (2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值. 5．（23-24高三下·青海海南·开学考试）已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同，且M经过点 ，N的焦距为 4. (1)求M和N 的方程; (2)如图，过点 的直线(斜率大于0)与双曲线 M和N 左、右两支依次相交于点 A，B，C，D，证明:. 6．（2024·吉林白山·一模）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值． 7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，. (1)求的方程； (2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点． （i）证明：点在定直线上： （ii）若直线与交于点，求证：． 8．（2024·浙江金华·模拟预测）已知双曲线：，F为双曲线的右焦点，过F作直线交双曲线于A，B两点，过F点且与直线垂直的直线交直线于P点，直线OP交双曲线于M，N两点． (1)求双曲线的离心率； (2)若直线OP的斜率为，求的值； (3)设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究v与u，w满足的方程关系，并将v用w，u表示出来． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．【详解】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图，    由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 2．【详解】（1）设，，由，得， 解得，即，而曲线的渐近线方程为， 由点在的渐近线上，得，即，因此， 所以的方程为. （2）由（1）知，设直线为由消去y得：， 则， ，由三点共线，得，同理， 因此 ， 所以的中点为定点. 3．【详解】（1）因为双曲线经过点，且直线是的一条渐近线， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2） 首先设是上任意一点，所以有， 这表明了点也在直线上，也可以得到， 联立直线的方程与椭圆的方程有，化简并整理得， 而，且这也就是说与双曲线相切于点； （3） 不妨设， 由（2）可知过点的直线的方程为， 因为点在直线上， 所以，即有， 又，从而， 所以， 若，则， 整理得， 因为，所以，也就是说，从而， 所以点在定直线上上. 4．【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，即， 又因为，设，可得，所以， 则，所以将代入上式，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，因为直线与双曲线的右支相交，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 可得或，且过点与垂直，所以，因为，所以， 设直线的方程为， 联立方程组，可得的，解得， 因为与双曲线的右支的交点为，所以，可得 所以， 所以5．【详解】（1）因为双曲线 焦距为， 所以，即双曲线 ， 因为双曲线 与双曲线渐近线相同， 所以可设双曲线 为， 又双曲线 过点，所以，即， 所以双曲线 为. （2）设直线的方程为，，，，， 由，可得， 由题意 ， 当时，，当时，， 所以与中点的横坐标为， 又在同一直线上，所以与中点重合，可设为，如图， 故，， 所以，即. 6．【详解】（1）设，，， ∵，∴，又∵焦距为，可得，则， 结合，∴，， ∴双曲线的标准方程为：． （2）如图， 由（1）知，，设，． 因为不与重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，， ，，， ∴． 7．【详解】（1） 由点，的坐标可知， 离心率为，故，所以， 所以双曲线方程为； （2）