1.2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质与判定的综合运用 课件 2023-—2024学年北师大版数学九年级上册

矩形的性质与判定的综合运用 3 北师版九年级上册 1 学习目标 1.进一步掌握矩形的性质及判定定理,进行有关的论证和计算. 2.通过运用矩形知识解决具体平面几何问题,提高综合运用能力. 复习回顾 矩形的性质 边 角 对角线 对称性 矩形的对边平行且相等 矩形的对角线互相平分且相等 矩形的四个角都是直角 矩形既是轴对称图形也是中心对称图形 矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 定理: 定理1:对角线相等的平行四边形是矩形 定理2:有三个角是直角的四边形是矩形 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 复习回顾 定义法: 矩形的特征: 定理: 如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,已知∠AOD = 120 ,AB = 2.5cm,则∠DAO = _,AC=_cm, 30 5 新课导入 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,添加一个条件_,可使它成为矩形。 ∠ABC = 90 或 AC = BD 例3 如图,在矩形 ABCD 中,AD = 6,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AE ⊥ BD,垂足为 E,ED = 3BE. 求 AE 的长. 分析:根据矩形的对角线互相平分且相等,可得OE=BE,再结合AE⊥BD,可得AB=AO,从而得证 OAB是等边三角形,求出∠ADE=30 ,在Rt ADE中,即可求得AE的长. 知识点:矩形的性质与判定 解∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BAD = 90 (矩形的四个角都是直角), AC = BD(矩形的对角线相等) AO = CO = AC,BO = DO = BD(矩形的对角线互相平分). ∴AO = BO = DO = BD. ∵ED = 3BE,∴BE = OE, 又∵AE⊥BD,∴AB = AO. ∴AB = AO = BO, 即 ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60 . ∴∠ADB = 90 -∠ABO = 90 - 60 = 30 . ∴AE = AD = 6 = 3. C 例4 如图,在 ABC 中,AB = AC,AD 是∠BAC 的一条角平分线,AN 为 ABC 外角∠CAM 的平分线,CE⊥AN,垂足为 E. 求证:四边形 ADCE 是矩形. 分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC,再结合已知条件和图形可以得到∠DAE=90 ,最后根据矩形的判定定理证明. 证明:∵AD 平分∠BAC,AN 平分∠CAM, ∴∠CAD = ∠BAC,∠CAN = ∠CAM. ∴∠DAE =∠CAD +∠CAN = (∠BAC +∠CAM) = 180 = 90 . 在 ABC中,∵AB = AC,AD平分∠BAC , ∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90 . 又∵CE⊥AN,∴∠CEA = 90 . ∴四边形 ADCE 为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). 想一想 在例4 中,连接 DE,交 AC 于点 F. (1)试判断四边形 ABDE 的形状,并证明你的结论. 四边形 ABDE 是平行四边形, 证明:∵ ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC, ∴BD = CD, 又∵ADCE是矩形,∴AE = CD,AE∥CD, ∴BD=AE, BD∥AE, ∴四边形 ABDE 是平行四边形. 想一想 在例4 中,连接 DE,交 AC 于点 F. (2)线段 DF 与 AB 有怎样的关系?请证明你的结论. DF∥AB,DF = AB. 证明:四边形 ADCE 是矩形, ∴AC = DE, ∴DF = AC. 又∵AB = AC,∴ DF = AB. ∴DF∥AB. ∵四边形 ABDE 是平行四边形. 已知:如图,四边形 ABCD 由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组成,M,N 分别是 BC 和 AD 的中点. 求证:四边形BMDN是矩形. 【选自教材P18 随堂练习】 证明:∵ ABD ≌ CBD ,且 ABD , CBD 为等边三角形,M ,N 分别为 BC,AD 中点, ∴ DM ⊥BC,BN ⊥AD , ∠DMB= 90 ,∠DNB = 90 , ∠DBM =60 ,∠DBN =30 , 即∠NBM =90 , 得证四边形 BMDN 是矩形. 巩固练习 2.[2023惠州期末]如图,在 中,对角线 , 相交于点 .若 , , ,则 的长为( ) A A. B. C.8 D. 16 【解析】 四边形 为平行四边形, , , , 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形), .又 , 在 中, , . 17 3.[2023六安金安区一模]如图,在 中, , , , 为 边 上一动点,过点 作 于点 , 于点 ,连接 ,则 的最小值是 ( ) D A.1.2 B.1.5 C.2 D.2.4 18 【解析】 如图,