第十七章 勾股定理 专项1 勾股定理与最短路径问题 过专项 阶段强化专项训练课件-2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十七章 勾股定理 专项1 勾股定理与最短路径问题 过专项 阶段强化专项训练 1 类型1 平面中的最短路径问题 模型总结 “将军饮马”模型 如图,点 为点 关于直线 的对称点,连接 交直线 于点 ,连接 ,此时 最小,且 . 1.如图,牧童在 处放牛,牧童家在 处, , 处距河岸 的距离 , 的长分 别为 和 ,且 , 两点的距离为 ,天黑前牧童从 处将牛牵到河边饮水再 回家,那么牧童最少要走的距离为( ) C A. B. C. D. 3 【解析】 如图,作点 关于河岸的对称点 ,连 接 交河岸于点 ,连接 ,过点 作 交 的延长线于点 ,则 (点拨:两点之间, 线段最短),此时牧童要走的路程最短,故牧童 应将牛赶到河边的 点. , , , . 4 类型2 立体图形中的最短路径问题 模型总结 2.如图是一个三级台阶,每一级的长、宽和高分别为 , 和 , 和 是这个台阶两个相对 的端点,若 点有一只蚂蚁,想到 点去吃可口的 食物,则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ( ) B A. B. C. D. 6 【解析】 如图,将台阶面展开,连接 ,线段 的长度 即所求最短路程. , ,在 中, , , 蚂蚁爬行的最短路程为 . 7 第3题图 3.如图,长方体的底面是边长 的正方形,高为 .如 果从点 开始经过4个侧面缠绕2圈到达 ,那么所用细线最 短需要_ _ . 8 【解析】 如图,将长方体的侧面沿 展开, 取 的中点 ,取 的中点 ,连接 , ,则 为所求的最短细线 长, , . , , . 9 第4题图 4.[2023合肥寿春中学期中]如图,一个 圆柱形食品盒,它的高为 ,底 面圆的周长为 . 10 (1)点 位于盒外底面的边缘,如果在 处有一只蚂蚁,它想吃到盒外 表面对侧中点 处的食物,那么蚂蚁需要爬行的最短路程是_ _ ; 【解析】 如图1,把圆柱侧面展开,在 中, , , . 11 (2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒,点 距离下底面 ,此时 蚂蚁从 处出发,爬到盒内表面对侧中点 处(如右图),则蚂蚁爬行的 最短路程是_ . 20 【解析】 如图2,点 与点 关于 对称, 可得 , ,则最短路 程为 . 12 5.如图,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是 , , . (1)在 的中点 处有一滴蜜糖,一只小虫从 处爬到 处去吃,有无数种走法,则路程最短的是多少? 13 解:将长方体的前侧面和右侧面展开在同一平面,连 接 ,如图1,沿 爬行路程最短. 长方体盒子的长、宽、高分别是 , , , , . 在 中,根据勾股定理,得 . 故最短路程是 . 14 (2)若此长方体盒子有盖,则能放入木棒的最大长度是多少? 解: 如图2,连接 , . 在 中, , , 由勾股定理,得 . 在 中, , , 由勾股定理,得 . 故能放入木棒的最大长度是 . 15 第十七章 勾股定理 专项2 勾股定理中的数学思想方法 过专项 阶段强化专项训练 16 类型1 分类讨论思想 1.[2021齐齐哈尔中考]直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三 角形斜边上的高为_ _. 或 17 【解析】 设直角三角形斜边上的高为 .分两种情况:①当4是直角边时, 斜边长为 ,则 ,解得 ;②当4是 斜边时,另一条直角边长为 ,则 , 解得 .综上所述,直角三角形斜边上的高为 或 . 18 2.在等腰直角三角形 中, , ,点 为边 的 三等分点,连接 ,则 的长为_ _. 或 19 【解析】 分两种情况:①如图1,当点 是靠近点 的三等分点时, , , , ;②如图2,当点 是靠近点 的三等分点 时, , , .综 上所述, 的长为 或 . 20 3.已知 是 的边 上的高,若 , , ,求 的长. 21 解:分两种情况: ①当高 在 内部时,如图1, , , , , , , , , ; 22 解: ②当高 在 外部时,如图2, 同理,可得 , , , . 综上所述, 的长为 或 . 23 【易错分析】 本题的易错之处是只考虑高在三角形内部一种情况,当题目中没有给定图形时,要考虑高在三角形内部和三角形外部两种情况,因此需要分类讨论求解,否则会出现漏解的错误. 24 类型2 方程思想 4.新趋势 数学文化[2023揭阳榕城区期中] 《九章算术》是古代东方数学代表作, 书中记载:今有开门去阃一尺,不合二 寸.问门广几何.题目大意:如图1,2(图2 C A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙 的距离为2寸,点 和点 距离门槛 都为1尺(1尺 寸),则 的长是( ) 25 【解析】 如图,由题意,得 , 寸, 寸.设 寸,则 寸, 寸.在 中, ,即 ,解得 , 寸. 26 5.[2023吉林期中]如