第七章 斜率的齐次化原理 同步训练-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

% Q ' ( R;FSTUVW ■■ ６３　 ■ %Q'(R;FSTUVW ! ?"#$%? ! １．（２０２３·西城区模拟）已知 Ｆ１，Ｆ２分别为椭 圆 Ｅ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点， 点 Ｍ（０， －１）为椭圆的一个顶点，△Ｆ１ＭＦ２ 是顶角为１２０°的等腰三角形． （１）求椭圆 Ｅ的方程； （２）过点 Ｍ分别作直线 ＭＡ，ＭＢ交椭圆 Ｅ于 Ａ，Ｂ两点，设两直线的斜率分别为 ｋ１， ｋ２，且 ｋ１ ＋ｋ２ ＝４，求证：直线 ＡＢ过 定点． ２．（２０２３·滑县期末）已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞ｂ＞０），点 Ｍ －１，３( )２ 在椭圆 Ｃ上， 椭圆 Ｃ的四个顶点的连线构成的四边形的面 积为４槡３． （１）求椭圆 Ｃ的方程； （２）设点 Ａ为椭圆长轴的左端点，Ｐ、Ｑ为椭 圆上异于椭圆 Ｃ长轴端点的两点，记直 线 ＡＰ、ＡＱ斜率分别为 ｋ１、ｋ２，若 ｋ１ｋ２＝ ２，请判断直线 ＰＱ是否过定点？若过定 点，求该定点坐标，若不过定点，请说 明理由． ３．（２０２３·南宁期末）如图，椭圆 Ｅ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ （ａ＞ｂ＞０）经过点 Ａ（０， －１），且离心率 为槡 ２ ２ ． （１）求椭圆 Ｅ的方程； （２）经过点（１，１），且斜率为 ｋ的直线与椭 圆 Ｅ交于不同的两点 Ｐ，Ｑ（均异于点 Ａ），证明：直线 ＡＰ与 ＡＱ的斜率之和 为２． ４．（２０２３·宝山区月考）已知椭圆 Ｅ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ （ａ＞ｂ＞０），依次连接椭圆 Ｅ的四个顶点构 成的四边形面积为４槡３． （１）若 ａ＝２，求椭圆 Ｅ的标准方程； （２）以椭圆 Ｅ的右顶点为焦点的抛物线 Ｇ，若 Ｇ上动点 Ｍ到点 Ｈ（１０，０）的最短距离为 ４槡６，求 ａ的值                               ； ■ ６４　 ■  （３）当 ａ＝２时，设点 Ｆ为椭圆 Ｅ的右焦点， Ａ（－２，０），直线 ｌ交 Ｅ于 Ｐ、Ｑ（均不与 点 Ａ重合）两点，直线 ｌ、ＡＰ、ＡＱ的斜率 分别为 ｋ、ｋ１，ｋ２，若 ｋｋ１ ＋ｋｋ２ ＋３＝０， 求△ＦＰＱ的周长． ５．（２０２２·惠州模拟）已知左焦点为 Ｆ（－１，０） 的椭圆过点 Ｅ １，２槡３( )３ ．过点 Ｐ（１，１）分别 作斜率为 ｋ１，ｋ２的椭圆的动弦 ＡＢ，ＣＤ，设 Ｍ，Ｎ分别为线段 ＡＢ，ＣＤ的中点． （１）求椭圆的标准方程； （２）若 Ｐ为线段 ＡＢ的中点，求 ｋ１； （３）若 ｋ１ ＋ｋ２ ＝１，求证直线 ＭＮ恒过定点， 并求出定点坐标． ６．（２０２１·蚌埠期末）已知圆 Ｃ：（ｘ－槡３） ２ ＋ｙ２ ＝１６，点 Ｇ（－槡３，０），Ｐ是圆 Ｃ上一动点， 若线段 ＰＧ的垂直平分线和 ＣＰ相交于点 Ｑ， 点 Ｑ的轨迹为曲线 Ｅ．动直线 ｌ交曲线 Ｅ于 Ｍ，Ｎ两点，且始终满足 ＯＭ⊥ＯＮ，Ｏ为坐标 原点，作 ＯＨ⊥ＭＮ交 ＭＮ于点 Ｈ． （１）求曲线 Ｅ的方程； （２）证明： ＯＨ为定值． ７．（２０２３·秦都区模拟）已知 Ｆ是椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的右焦点，且 Ｐ１，３( )２ 在椭 圆 Ｃ上，ＰＦ垂直于 ｘ轴． （１）求椭圆 Ｃ的方程． （２）过点Ｆ的直线ｌ交椭圆Ｃ于 Ａ，Ｂ（异于点 Ｐ）两点，Ｄ为直线 ｌ上一点．设直线 ＰＡ， ＰＤ，ＰＢ的斜率分别为 ｋ１，ｋ２，ｋ３，若 ｋ１ ＋ｋ３＝２ｋ２，证明：点 Ｄ的横坐标为定值                                     ． % Q ' ( R;FSTUVW ■■ ６５　 ■ ８．（２０２３·福建模拟）已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞ｂ＞０）的左、右顶点分别为 Ａ１，Ａ２， 上、下顶点分别为 Ｂ１，Ｂ２，左焦点为 Ｆ１，且 过点 Ｍ １，槡２( )２ ．Ｏ为坐标原点，△Ａ１Ｂ１Ｆ１ 与△ＯＡ２Ｂ２的面积的比值为１－槡 ２ ２ ． （１）求椭圆 Ｃ的标准方程； （２）直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ（ｋ＞０，ｍ≠０）与椭圆 Ｃ 交于 Ｐ，Ｑ两点，记直线 ＯＰ，ＯＱ的斜率 分别为 ｋ１，ｋ２，若 ｋ为 ｋ１，ｋ２的等比中 项，求△ＯＰＱ面积的取值范围． ９．已知点 Ｐ（－２，１）是椭圆 Ｅ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞ｂ＞０）上一点，且 Ｅ的离心率为槡２ ２ ． （１）求椭圆 Ｅ的方程； （２）点 Ａ，Ｂ在椭圆 Ｅ上，ＰＤ⊥ＡＢ，Ｄ为垂 足，若直线 ＰＡ和直线 ＰＢ斜率之积为 － １ ６ ．求证：存在定点 Ｎ，使得 ＮＤ 为 定值．