第三章 离心率速解 同步训练-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

% - ' ( 9:;<= ■■ ４１　 ■ %-'(9:;<= ! ?"#$%? ! １．（２０２１·佛山二模）已知双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的离心率等于２，Ｆ１，Ｆ２分别 是 Ｃ的左、右焦点，Ａ为 Ｃ的右顶点，Ｐ在 Ｃ的渐近线上，且 ＰＦ１⊥ＰＦ２，若△ＰＡＦ１的 面积为３ａ，则 Ｃ的虚轴长等于 （　　） 　 　　　 　　　　 　 　　Ａ．槡３ Ｂ．２ Ｃ．２槡３ Ｄ．４ ２．（２０２１·山东模拟）已知双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ ＞０，ｂ＞０）的右焦点为 Ｆ，过 Ｆ作双曲线两 渐近线的垂线，垂足分别为点 Ａ，Ｂ（Ａ，Ｂ分 别在一、四象限），若 ２ ＡＢ ＝ ＦＡ，则该 双曲线的离心率为 （　　） Ａ．２ Ｂ．２槡３ Ｃ．４ Ｄ．４槡３ ３．（２０２３·河西区模拟）已知双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１， Ｆ２，以线段 Ｆ１Ｆ２为直径的圆与 Ｃ的渐近线在 第一象限的交点为 Ｐ，且 ＰＦ１ － ＰＦ２ ＝ ２ｂ．设 Ｃ的离心率为 ｅ，则 ｅ２＝ （　　） Ａ．槡３＋１ ２ Ｂ．槡５＋１ ２ Ｃ．槡３ Ｄ．槡５ ４．（２０２２·多选·如皋市模拟）在平面直角坐标 系 ｘＯｙ中，已知 Ｆ１，Ｆ２分别是椭圆 Ｃ： ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ２ ＝１的左，右焦点，点 Ａ，Ｂ是椭圆 Ｃ上异 于长轴端点的两点，且满足ＡＦ１ ! ＝λＦ１Ｂ ! ，则 （　　） Ａ．△ＡＢＦ２的周长为定值 Ｂ．ＡＢ的长度最小值为１ Ｃ．若 ＡＢ⊥ＡＦ２，则 λ＝３ Ｄ．λ的取值范围是［１，５］ ５．（２０２２·镇江月考）已知椭圆 Ｃ的焦点为 Ｆ１（－１， ０），Ｆ２（１，０），过 Ｆ２的直线与 Ｃ交于 Ａ，Ｂ 两点．若 ＡＦ２ ＝ ３ ２ ＢＦ２ ， ＢＦ１ ＝２ＢＦ２ ， 则椭圆 Ｃ的方程为　　　　． ６．（２０２２·天心区二模）已知Ｆ１，Ｆ２分别是椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点，点 Ａ （０，ｂ），点 Ｂ在椭圆 Ｃ上，ＡＦ１ ! ＝２Ｆ１Ｂ ! ，Ｄ， Ｅ分别是 ＡＦ２，ＢＦ２的中点，且△ＤＥＦ２的周 长为４，则椭圆 Ｃ的方程为 （　　） Ａ．ｘ ２ ４ ＋ｙ ２ ３ ＝１ Ｂ．ｘ ２ ４ ＋３ｙ ２ ８ ＝１ Ｃ．ｘ ２ ４ ＋３ｙ ２ ４ ＝１ Ｄ．ｘ２＋３ｙ ２ ２ ＝１ ７．（２０２０·潍坊二模）已知 Ｏ为坐标原点，双曲 线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦点为 Ｆ，过点 Ｆ且与 ｘ轴垂直的直线与双曲线 Ｃ 的一条渐近线交于点 Ａ（点 Ａ在第一象限）， 点 Ｂ在双曲线 Ｃ的渐近线上，且 ＢＦ∥ＯＡ， 若ＡＢ!·ＯＢ! ＝０，则双曲线 Ｃ的离心率为 （　　） Ａ．２槡３ ３ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ．２ ８．（２０２３·泉州期末）已知双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的右顶点为 Ａ，左、                               右焦点分 ■ ４２　 ■  别为 Ｆ１，Ｆ２，以 Ｆ１Ｆ２为直径的圆与 Ｃ的渐 近线在第一象限的交点为 Ｍ，且 ＭＦ１ ＝ ２ＭＡ，则该双曲线的离心率为 （　　） Ａ．２槡３ ３ Ｂ．槡２ Ｃ．２ Ｄ．槡３＋１ ９．（２０２２秋·武昌区期中）过椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞ｂ＞０）左焦点 Ｆ（－ｃ，０）作倾斜角为π ６ 的直线 ｌ，与椭圆 Ｃ交于 Ａ，Ｂ两点，其中 Ｐ 为线段 ＡＢ的中点，线段 ＰＦ的长为槡３ ３ ｃ，则 椭圆 Ｃ的离心率为 （　　） Ａ．槡５ ５ Ｂ．１ ２ Ｃ．槡３ ２ Ｄ．槡６ ３ １０．（２０２２·多选·湖南期末）双曲线的光学性 质如下：如图，从双曲线右焦点 Ｆ２发出的 光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延 长线经过左焦点 Ｆ１．我国首先研制成功的 “双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这 个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双 曲线一部分，如图，其方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１， Ｆ１，Ｆ２分别为其左、右焦点，若从右焦点 Ｆ２发出的光线经双曲线上的点 Ａ和点 Ｂ反 射后（Ｆ２，Ａ，Ｂ在同一直线上），满足 ＡＢ⊥ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝３π４ ，则 （　　） 　　　 Ａ． ＡＦ２ ＢＦ２ ＝槡２＋１ Ｂ． ＡＦ２ ＢＦ２ ＝槡２－１ Ｃ．该双曲线的离心率的平方为５＋２槡２ Ｄ．该双曲线的离心率的平方为５－２槡２ １１．（２０２２·新疆模拟）过双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）右焦点 Ｆ的直线 ｌ与 Ｃ交于 Ｐ，Ｑ两点，ＱＰ! ＝２ＰＦ!，若ＯＰ!·ＦＱ!