第二章 圆锥曲线焦点三角形几何性质 同步训练-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ ３８　 ■  %0'()*+,12-345678 ! ?"#$%? ! １．（２０２３·河南月考）已知双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ３ ＝１（ａ ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，离心率为 ２，点 Ｐ在双曲线的右支上，且 ＰＦ１⊥ＰＦ２， 则△Ｆ１ＰＦ２的面积为 （　　） 　 　　　 　　　　 　 　　Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．３ ２．（２０２３·邯郸一模）抛物线有一条重要性质： 从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反 射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反 之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物 线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线 的焦点．已知抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），一 条平行于 ｘ轴的光线，经过点 Ａ（３，１），射 向抛物线 Ｃ的 Ｂ处，经过抛物线 Ｃ的反射， 经过抛物线 Ｃ的焦点 Ｆ，若 ＡＢ ＋ ＢＦ ＝５， 则抛物线 Ｃ的准线方程是 （　　） Ａ．ｘ＝－４ Ｂ．ｘ＝－２ Ｃ．ｘ＝－１ Ｄ．ｘ＝－１ ２ ３．（２０２３·榆林二模）已知双曲线 Ｃ：ｘ ２ ４９ －ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ｂ＞０）的左、右焦点分别是 Ｆ１，Ｆ２，Ｐ是 双曲线 Ｃ上的一点，且 ＰＦ１ ＋ ＰＦ２ ＝３４， 若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则双曲线Ｃ的离心率是 （　　） Ａ．１３ ５ Ｂ．１３ ７ Ｃ．１３ １２ Ｄ．１７ ７ ４．（２０２２·驻马店期末）已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ （ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别是 Ｆ１，Ｆ２，若 椭圆Ｃ上存在点Ｐ，使得ＰＦ１ ! ·ＰＦ２ ! ＜０，则椭 圆 Ｃ离心率的取值范围是 （　　） Ａ． ０，槡２( )２ Ｂ． 槡２２，( )１ Ｃ． ０，１( )２ Ｄ． １２，( )１ ５．（２０２３·沭阳县模拟）椭圆具有光学性质：从 椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射 后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）． 已知椭圆 Ｅ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右 焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，过 Ｆ２的直线与椭圆 Ｅ 交与点 Ａ，Ｂ，过点 Ａ作椭圆的切线 ｌ，点 Ｂ 关于 ｌ的对称点为 Ｍ，若 ＡＢ ＝３ａ ２ ， ＢＦ１ ＭＦ１ ＝５ ７ ，则 Ｓ△ＭＡＢ Ｓ△ＡＦ１Ｆ２ ＝ （　　） Ａ．８１ ３５ Ｂ．３５ １６ Ｃ．９ ５ Ｄ．４ ５ ６．（２０２２·浦东新区期末）已知点 Ｐ是椭圆ｙ ２ ４５ ＋ ｘ２ ９ ＝１上一点，点 Ｆ１、Ｆ２是椭圆上、下焦 点，△Ｆ１ＰＦ２有一个内角为 ２π ３ ，则△Ｆ１ＰＦ２ 的面积为 （　　                               ） % 0 ' ( )*+,12-345678 ■■ ３９　 ■ Ａ．３槡３或９槡３ Ｂ．６槡３或９槡３ Ｃ．９槡３或 ９ ４ （槡１５＋槡３） Ｄ．９槡３或 ９ ４ （槡１５－槡３） ７．（２０２３·南充模拟）智慧的人们在进行工业设 计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质， 比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光 线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线． 如图，从双曲线右焦点 Ｆ２发出的光线通过双 曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经 过左焦点 Ｆ１．已知入射光线 Ｆ２Ｐ斜率为 －槡３，且 Ｆ２Ｐ和反射光线 ＰＥ互相垂直（其中 Ｐ为入射点），则双曲线的离心率为 （　　） Ａ．槡６＋槡２ ４ Ｂ．槡２ Ｃ．２＋槡３ Ｄ．１＋槡３ ８．（２０２２·江西月考）已知双曲线ｘ ２ ４ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ｂ ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，点 Ｐ是右 支上异于顶点的一点，△ＰＦ１Ｆ２的内切圆圆 心为 Ｉ，过点 Ｆ２作直线 ＰＩ的垂线，垂足为 Ｍ，Ｏ为坐标原点，则 ＯＭ ＝ （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．１６ ９．（２０２３·云南模拟）已知 Ｆ１，Ｆ２是双曲线 Ｃ： ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点，点 Ｍ是过坐标原点 Ｏ且倾斜角为６０°的直线 ｌ与 双曲线 Ｃ的一个交点，且 ＭＦ１ ! ＋ＭＦ２ ! ＝ ＭＦ１ ! －ＭＦ２ ! 则双曲线 Ｃ的离心率为 （　　） Ａ．２ Ｂ．２＋槡３ Ｃ．槡３＋１ Ｄ．槡３ １０．（２０２３·宜宾模拟）已知点 Ｐ是椭圆ｘ ２ ９ ＋ｙ ２ ４ ＝１上一点，椭圆的左、右焦点分别为 Ｆ１、 Ｆ２，且 ｃｏｓ∠Ｆ１ＰＦ２＝ １ ３ ，则△ＰＦ１Ｆ２的面积 为 （　　） Ａ．６ Ｂ．１２ Ｃ．槡２ Ｄ．２槡２ １１．已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右 焦点分别为 Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），Ｐ是 椭圆上的点，若满足∠Ｆ１ＰＦ２＝６０°的点Ｐ恰 有２个，则△Ｆ１ＰＦ２内切圆半径的最大值为 （　　） Ａ．槡３