第一章 2023高考单选填空精选-【老唐说题】高中数学新思路 多选+填空压轴专题

书 ■■ １　 ■ １!　 !"#$%&'( )*+,-./0+,12,3-4.,/0-4+,540 ２０２３ !"#$%&'$ 一、选择题 １．（２０２３·天津）双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２．过 Ｆ２作其中一条渐 近线的垂线，垂足为Ｐ．已知 ＰＦ２ ＝２，直线ＰＦ１的斜率为槡 ２ ４，则双曲线的方程为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｘ ２ ８－ ｙ２ ４＝１ Ｂ． ｘ２ ４－ ｙ２ ８＝１ Ｃ． ｘ２ ４－ ｙ２ ２＝１ Ｄ． ｘ２ ２－ ｙ２ ４＝１ 因为过Ｆ２（ｃ，０）作一条渐近线 ｙ＝ ｂ ａｘ的垂线，垂足为 Ｐ，则 ＰＦ２ ＝ ｂｃ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝ｂ＝２， 所以ｂ＝２①，联立 ｙ＝ｂａｘ ｙ＝－ａｂ（ｘ－ｃ { ），可得ｘ＝ａ２ｃ，ｙ＝ａｂｃ，即Ｐａ２ｃ，ａｂ( )ｃ，因为直线ＰＦ１的斜率 ａｂ ｃ ａ２ ｃ＋ｃ ＝槡２４，整理得槡２（ａ ２＋ｃ２）＝４ａｂ②，①②联立得，ａ＝槡２，ｂ＝２，故双曲线方程为 ｘ２ ２－ ｙ２ ４＝１．故 选Ｄ． ２．（２０２３·上海）已知Ｐ，Ｑ是曲线Γ上两点，若存在Ｍ点，使得曲线 Γ上任意一点 Ｐ都存在 Ｑ使 得 ＭＰ· ＭＱ ＝１，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相 关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则 （　　） Ａ．①成立，②成立 Ｂ．①成立，②不成立 Ｃ．①不成立，②成立 Ｄ．①不成立，②不成立 解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的 Ｍ点，使得 ＭＰ· ＭＱ ＝１成立，故① 正确，在双曲线中， ＰＭ ｍａｘ→＋∞，而 ＱＭ ｍｉｎ是个固定值，则无法对任意的 Ｐ∈Ｃ，都存在 Ｑ∈Ｃ， 使得 ＰＭ ＱＭ ＝１，故②错误．故选Ｂ． ３．（２０２３·上海）已知ａ∈Ｒ，记ｙ＝ｓｉｎｘ在［ａ，２ａ］的最小值为ｓａ，在［２ａ，３ａ］的最小值为ｔａ，则下 列情况不可能的是 （　　） Ａ．ｓａ＞０，ｔａ＞０ Ｂ．ｓａ＜０，ｔａ＜０ Ｃ．ｓａ＞０，ｔａ＜０ Ｄ．ｓａ＜０，ｔａ＞０ 解：由给定区间可知，ａ＞０．区间［ａ，２ａ］与区间［２ａ，３ａ］相邻，且区间长度相同． ■ ２　 ■  取ａ＝π６，则［ａ，２ａ］＝ π ６， π[ ]３ ，区间［２ａ，３ａ］＝ π３，π[ ]２ ，可知ｓａ＞０，ｔａ＞０，故Ａ可能； 取ａ＝５π１２，则［ａ，２ａ］＝ ５π １２， ５π[ ]６ ，区间［２ａ，３ａ］＝ ５π６，５π[ ]４ ，可知 ｓａ＞０，ｔａ＜０，故 Ｃ 可能； 取ａ＝７π６，则［ａ，２ａ］＝ ７π ６， ７π[ ]３ ，区间［２ａ，３ａ］＝ ７π３，７π[ ]２ ，可知 ｓａ＜０，ｔａ＜０，故 Ｂ 可能． 结合选项可得，不可能的是ｓａ＜０，ｔａ＞０．故选Ｄ． ４．（２０２３·北京）数列 ａ{ }ｎ 满足ａｎ＋１＝ １ ４（ａｎ－６） ３＋６，下列说法正确的是 （　　） Ａ．若ａ１＝３，则 ａ{ }ｎ 是递减数列，Ｍ∈Ｒ，使得ｎ＞ｍ时，ａｎ＞Ｍ Ｂ．若ａ１＝５，则 ａ{ }ｎ 是递增数列，Ｍ≤６，使得ｎ＞ｍ时，ａｎ＜Ｍ Ｃ．若ａ１＝７，则 ａ{ }ｎ 是递减数列，Ｍ＞６，使得ｎ＞ｍ时，ａｎ＞Ｍ Ｄ．若ａ１＝９，则 ａ{ }ｎ 是递增数列，Ｍ∈Ｒ，使得ｎ＞ｍ时，ａｎ＜Ｍ 解法一：对原式进行变形，得ａｎ＋１－ａｎ＝ １ ４（ａｎ－６） ２[ ]－１（ａｎ－６），当ａ１＝３，则ａ２－ａ１ ＜０，ａ２＜３，设ａｋ＜３（ｋ∈Ｚ，ｋ≥２），则ａｋ＋１－ａｋ＜－３，所以 ａ{ }ｎ 是递减数列，当ｎ→＋∞，ａｎ→－ ∞，Ａ错误，同理可证明Ｄ错误，当ａ１＝５，则ａ２－ａ１＞０，即 ａ２＞５，又因为 １ ４（ａ１－６） ３＜０，所以 ５＜ａ２＜６，假设５＜ａｋ＜６（ｋ∈Ｚ，ｋ≥２），则ａｋ＋１－ａｋ＞０，即 ａｋ＋１＞５，又因为 １ ４（ａｋ－６） ３＜０，所以 ５＜ａｋ＋１＜６，所以当ｎ→＋∞，ａｎ→６，Ｂ正确，对于 Ｃ，当 ａ１＝７，递减数列，通过计算发现无穷接 近６，所以Ｍ＝６，Ｃ错误． 解法二：作蛛网图如左下，有三个不动点，４，６，８， 　　　　 如右上图，当ａ１＝３，则 ａ{ }ｎ 是递减数列，且当ｎ→＋∞，ａｎ→－∞，Ａ错误，当ａ１＝５， ａ{ }ｎ 是 递增数列，根据蛛网图可得 ｌｉｍ ｎ→＋∞ ａｎ＝６，Ｂ正确，若 ａ１＝７，则 ａ{ }ｎ 是递减数列，根据蛛网图可得 ｌｉｍ ｎ→＋∞ ａｎ＝６，不存在 Ｍ＞６，Ｃ错误，若 ａ１＝９，则 ａ{ }ｎ 是递增数列，根据蛛网图可得当 ｎ→ ＋∞，ａｎ →＋∞，Ｄ错误，故选Ｂ． ５．（２０２３·乙卷）函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ＋２存在３个零点，则ａ的取值范围是 （　　） Ａ．（－∞，－２） Ｂ