4.5 三角形的中位线典型问题分析 2023—2024学年浙教版年数学八年级下册

2023-2024浙教版八年级下册第四章三角形中位线典型问题分析 1、三角形中位线： （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （2）性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 （3）补充定义： 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 2、与中点相关考点题型： 考点1 中位线＋角平分线 考点2 中位线＋斜中线 考点3 已知角分线＋垂直的条件 考点4 中位线＋最值问题 考点5 已知四边形对边的中点 考点6 已知四边形对角线的中点 考点7 中位线与面积问题 考点8 中位线引起的找规律 3、中点三角形 （1）分得的四个三角形均全等 （2）中点三角形的周长是原三角形周长的，面积是原三角形面积的 4、中点四边形 （1）任意四边形的中点四边形都是平行四边形； （2）平行四边形的中点四边形还是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形 （3）中点四边形的形状与原四边形的形状无关，只与原四边形的对角线有关。（原四边形只要满足对角线相等，则中点四边形就是菱形。同理：原四边形满足对角线互相垂直，则中点四边形是矩形。原四边形满足对角线互相垂直且相等，则中点四边形的正方形。） 典型例题 考点1 中位线+角平分线 分析：角平分线+平行线=等腰三角形 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB与E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：其中正确的结论是（　　） ①EF＝BE+CF； ②∠BOC＝90°+∠A； ③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn． ④EF不能成为△ABC的中位线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 考点2 中位线+斜中线 分析：若题干中出现了垂直，并容易得出是直角三角形斜边上的中线，那么我们要利用斜中线定理，然后 可能和中位线相等的思路解题 【例3】如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD＝12，则HE等于（　　） A．24 B．12 C．6 D．8 【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M、N分别为AC、CD的中点，连接BM、MN、BN． （1）求证：BM＝MN． （2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝4，①求∠BMN的度数；②求BN的长． 考点3 已知角分线加垂直的条件 分析：角平分线，垂直与中线，由其中2个条件推得三线合一定理 【例6】如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，若AB＝8，AC＝6，则EF的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 【例7】如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（　　） A． B． C．3 D．4 考点4 中位线+最值问题 分析：出现多个中点，求中位线的最值，一般转化为第三边最值。 【例8】如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值： ①线段MN的长； ②△PAB的周长； ③△PMN的面积； ④直线MN，AB之间的距离； ⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤ 【例9】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【例10】如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，AB＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　） A． B． C． D． 考点5 已知四边形对边的中点 分析：遇到四边形对边中点，一般添加辅助线的方法是找出对角线中点或者无关边的中点。 【例11】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是（　　） A．120° B．150° C．135° D．140° 【例12】已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分