5.3.1简单的轴对称图形(3)——垂直平分线的性质 讲 义 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

线段的轴对称性 【知识导航】 1.线段的对称性 线段是轴对称图形，_________________线段的直线是它的一条对称轴. 2.线段的垂直平分线 _______________于一条先线段，并且_____________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（简称中垂线） 3.线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离____________. 符号语言：∵PN⊥AB于点C，AC=BC ∴PA=PB 或∵MN是线段AB的中垂线，点P在MN上 ∴PA=PB 注意：以上所述的条件是两个，这两个条件（垂直于平分）缺一不可！ 4.线段的垂直平分线的判定（垂直平分线判定定理） 到一条线段的两个端点距离____________的点，在这条线段的垂直平分线上. 符号语言：∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上 5.用尺规作线段的垂直平分线 【典例探究】 题型一、线段的垂直平分线的性质 例1如图，在等腰三角形ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE. （1） 若△ABC的周长为21，BC=5，则△BEC的周长为____________； （2） 若∠A=30°，则∠EBC=________. 例2 如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E. （1）若BC=5，求△ADE的周长； （2）若∠ABC=120°，求∠DAE的度数. 【跟踪训练】 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ） A.8 B. C. D.17 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=8 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，则BN的长为_________cm. 题型二、用尺规作线段的垂直平分线 例3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°.请完成下面的作图和填空. （1）用尺规完成以下基本作图：作BC边的垂直平分线，与边BC，AC分别交于点D，E，与BA的延长线交于点F，连接BE；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，若CE=EF，试说明△BDE≌△FAE.请将下列解答过程补充完整. 解：∵DE垂直平分BC ∴△BC为等腰三角形，∠BED=∠CED ∵∠CED=∠FEA ∴∠BED=∠FEA ∵CE=EF ∴________=EF ∵ED⊥BC ∴∠BDE=90° ∵∠BAC=90° ∴∠FAE=90° ∴∠BDE=___________ 在△BDE和△FAE中 ∴△BDE≌_______________（___________） 【跟踪训练】 2.如图，在△ABC中，AC>BC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，E，经过点D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN.下列结论正确的是（ ） A.AN=NC B.AN=BN C.MN=BC D.BN平分∠ABC 4.作图题：按要求尺规作图.（不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 如图，点A，B，C表示三个住宅小区，先要修建一个快递中转站，使它到三个住宅小区的距离相等，求快递中转站的位置P. 【课时作业】 第一阶 基础夯实 1.如图，已知线段AB=6，利用赤鬼作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，b的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线.所以b的长可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E.下列结论不一定成立的是（ ） A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC 3.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC，AB于点D，E，连接AD.若∠B=50°，则∠CAD的度数是（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 4.如图，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，连接AM，AN，则∠MAN的度数为（ ） A.80° B.70° C