专题特训一 旋转在解题中的应用-【拔尖特训】2023-2024学年九年级下册数学（沪科版）

专题特训一　旋转在解题中的应用 ▶ “答案与解析”见P4 类型一 利用“旋转”求角的度数 1. 如图,在△ABC 中,点E 在边BC 上,AE= AB,将线段AC 绕点A 旋转到线段AF 的位 置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF 交AC 于 点G. (1) 求证:EF=BC. (2) 若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC 的度数. (第1题) 2. 已知 点 O 在 直 线 AB 上,OC⊥AB.在 Rt△ODE 中,∠ODE=90°,∠DOE=30°, 先将△ODE 的一边OE 与OC 重合(如图 ①),然后将△ODE 绕点O 按顺时针方向旋 转(如图②),当OE 与OB 重合时停止旋转. (1) 当∠AOD=80°时,∠COE 的度数为 . (2) 当OD 在OC 与OB 之间时,求∠AOD- ∠COE 的度数. (3) 在△ODE 的旋转过程中,当∠AOE= 4∠COD 时,求∠COE 的度数. (第2题) 类型二 利用“旋转”求线段的长 答案讲解 3. (2023·滁州二模)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB,M 是 CA 上的一点,过点M 作MN∥AB 交CB 于点N,将△CMN 绕点C 按逆时针方 向旋转α(0°<α<180°)得到△CDE,连接 AD,BE. (1) 若AD=5,求BE 的长. (2) 若CA=22,M 是CA 的中点,且点A, D,E 在同一条直线上,求BE 的长. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 第24章　圆 类型三 利用“旋转”求点的坐标 4. 在平面直角坐标系中,O 为原点,A(1,0), B(0,3).把△ABO 绕点O 按顺时针方向旋 转,得到△A'B'O,记旋转角为α. (1) 如图①,当α=30°时,设A'B'与x 轴交 于点C,求点B'的坐标. (2) 如图②,当α=90°时,直线AA'与直线 BB'相交于点M,求证:△MAB'是等腰直角 三角形. (第4题) 类型四 利用“旋转”求面积 答案讲解 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB=30°,将 △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转 60°,得到△ADE,连接CD,CE. (1) 求证:AB=CD. (2) 若BC=10,∠ABC=45°,连接BE,求 △BCE 的面积. (第5题) 类型五 利用“旋转”判定图形的形状 6. 某校九年级学习小组在研究性学习过程中, 用两块完全相同的且含30°角的直角三角尺 ABC 与直角三角尺AFE(∠E=∠C=30°) 按如图①所示的位置放置.现将三角尺AFE 绕点A 按逆时针方向旋转,旋转角为α(0°< α<90°),如图②,AE 与BC 交于点M,AC 与EF 交于点N,BC 与EF 交于点P. (1) 求证:AM=AN. (2) 当α=30°时,四边形ABPF 是什么样的 特殊四边形? 请说明理由. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 数学(沪科版)九年级下 2,OB=OA·cos45°=2. ∴ 点A 的坐标为(2,2),此时k= (2)2=2. ∴ k的取值范围是0<k≤2. (第10题) 专题特训一　旋转在解题 中的应用 1. (1) ∵ ∠CAF=∠BAE, ∴ ∠CAF + ∠EAC = ∠BAE + ∠EAC,即∠EAF=∠BAC. ∵ 将线段AC绕点A 旋转到线段AF 的位置, ∴ AF=AC. 在△AEF 和△ABC中, AE=AB, ∠EAF=∠BAC, AF=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△ABC. ∴ EF=BC. (2) ∵ AB=AE,∠ABC=65°, ∴ ∠