主题3 第6章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第3节　平面向量的数量积与平面向量应用举例 ★[课程标准] 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 1．向量的夹角及范围 已知两个非零向量a和b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直．规定零向量可与任一向量垂直，即对任意向量a，都有0⊥a. 2．平面向量的数量积及几何意义 (1)平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)．|a||b|cos θ称作a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 (2)当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|. (3)投影向量 投影向量：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的投影 γ＝，γ称为投影向量．设向量a与b的夹角为θ，则|a|cos θ称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·.所以投影数量是数量积的特殊情况． (4)投影向量的表示 向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ· 或·. 3．平面向量数量积的性质及其坐标运算 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝　x1x2＋y1y2　 模 |a|＝　　 |a|＝　　 夹角 cos θ＝ cos θ＝ 　　 a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b 时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ · 4.平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘结合律：(λa)·b＝＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (2)向量a在向量b上的投影向量一定是数量．(　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　) (5)两个向量的夹角的范围是.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(BSD必修第二册P107练习T1改编)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|3a－2b|＝，则a与b的夹角为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：A　[设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7.又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝，所以|a||b|cos θ＝，即cos θ＝. 又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为.] 2．已知|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，向量b的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量等于(　　) A．2e B．e C．－e D．－2e 解析：C　[|a|cos 120°e＝2cos 120°e＝－e.] 3．(向量夹角与平面角混淆致误)设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　) A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C. D. 解析：A　[由a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0，即－2λ－1＜0，解得λ＞－， 又当a与b共线且反向时，2－λ＝0，得λ＝2. 所以λ的取值范围是λ＞－且λ≠2.] 4．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1×3×＋32＝11. 答案：11 5．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________. 解析：c＝a＋kb＝(3,1)＋k(1,0)＝(k＋3,1)，由a⊥c得a·c＝0，所以3(k＋3)＋1＝0，解得k＝－. 答案：－ 　 　　平面向量的数量积运算 1．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A.　　 B．3 C．2　　 D．5 解析：B　[以{，}为基底向量， 可知||＝||＝2，·＝0， 则＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝· ＝－2＋2＝－1＋4＝3.] 2．(2024·全国模拟预测)已知向量a与b不共线，且a·(a＋b)＝2，|a|＝1，若(2a－b)⊥(2a＋b)，则b·(a－b)＝________. 解析：由a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋a·b＝2， 得a·b＝1， 由(2a－b)⊥(2a＋b)，得(2a－b)·(2a＋b)＝4a2－b2＝0，所以|b|＝2， 则b·(a－b)＝b·a－b2＝1－4＝－3. 答案：－3 3．(2024·江苏南京模拟)在△ABC中，·＝0，||＝3，||＝4，O为△ABC的重心，D在边BC上，且AD⊥BC，则·＝________. 解析：因为O为△ABC的重心， 所以＝(＋)， 因为·＝0，所以AB⊥AC， 则|BC|＝＝5， 因为AD⊥BC，所以S△ABC＝|AB|·|AC| ＝|AD|·|BC|， 即×3×4＝|AD|×5，所以|AD|＝， 在Rt△ADB中，|DB|＝ ＝＝. 法一：因为＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 所以·＝(＋)· ＝×＝. 法二：以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系， 则＝(4,0)，＝(0,3)， 由法一可知＝＋＝，＝(＋)＝， 所以·＝×＋1×＝. 答案： 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c. (2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)． 　　　平面向量数量积的简单应用 ►[命题点1]　平面向量的模　 1．(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________. 解析：由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＝2a·b； 由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即b2＝3， |b|＝. 答案： (2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为________． 解析：建立如图所示的直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量， ∴可设＝a＝(1,0)，＝b＝(0,1)，＝c＝(x，y)， ∴c－a－b＝(x－1，y－1)． ∵|c－a－b|＝1， ∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆． 而|c|＝，∴|c|的最大值为|OM|＋1， 即|c|max＝＋1. 答案：＋1 利用数量积求向量模 (1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． ►[命题点2]　平面向量的夹角　 2．(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 解析：C　[由已知有c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，故＝，解得t＝5.] (2)(2023·全国甲卷)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：D　[由a＋b＋c＝0得a＋b＝－c， 所以(a＋b)2＝(－c)2， 即a2＋2a·b＋b2＝c2， 又|a|＝|b|＝1，|c|＝， 所以a·b＝0，所以a⊥b. 如图所示，a－c＝， b－c＝，由余弦定理得|CA|＝|CB|＝，所以cos∠ACB＝＝， 即cos〈a－c，b－c〉＝.] (3)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 解析：∵2a－3b与c的夹角为钝角， ∴(2a－3b)·c<0， 即(2k－3，－6)·(2,1)<0，解得k＜3. 又若(2a－3b)∥c， 则2k－3＝－12，即k＝－. 当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 此时2a－3b与c反向，不合题意． 综上，k的取值范围为∪. 答案：∪ 根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝(夹角公式)，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度问题． 提醒：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． ►[命题点3]　平面向量的垂直　 3．(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析：D　[(a＋λb)·(a＋μb)＝a2＋(λ＋μ)(a·b)＋λμb2＝2(1＋λμ)＝0，所以λμ＝－1.] (2)(2024·海南海口模拟)已知向量a，b的夹角为45°，|a|＝，且a·b＝2，若(λa＋b)⊥b，则λ＝　________. 解析：因为a·b＝|a||b|cos 45°＝2，得|b|＝2， 又因为(λa＋b)⊥b， 所以(λa＋b)·b＝λa·b＋b2＝2λ＋4＝0，所以λ＝－2. 答案：－2 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. 　　　新高考题型—新结构、新定义问题 [典例]　将平面直角坐标系中的一列点A1(1，a1)、A2(2，a2)、…、An(n，an)、…，记为{An}，设f(n)＝·j，其中j为与y轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n，都有f(n＋1)＞f(n)，则称{An}为T点列． (1)判断A1(1,1)、A2、A3、…、An、…是否为T点列，并说明理由； (2)若{An}为T点列，且a2＞a1任取其中连续三点Ak、Ak＋1、Ak＋2，证明△AkAk＋1Ak＋2为钝角三角形； (3)若{An}为T点列，对于正整数k、l、m(k＜l＜m)，比较的大小，并说明理由． 解：(1){An}为T点列，理由如下： 由题意可知，＝，j＝(0,1)，所以f(n)＝·j＝－， f(n＋1)－f(n)＝－－＝＞0，即f(n＋1)＞f(n)，n∈N*， 所以A1(1,1)、A2、A3、…、An、…为T点列； (2)由题意可知，＝(1，an＋1－an)，j＝(0,1)，所以f(n)＝·j＝an＋1－an， 因为{An}为T点列，所以f(n＋1)－f(n)＝an＋2－an＋1－(an＋1－an)＞0，n∈N*， 又因为a2＞a1，所以a2－a1＞0. 所以对{An}中连续三点Ak、Ak＋1、Ak＋2，都有ak＋2－ak＋1＞ak＋1－ak，ak＋2＞ak＋1＞ak. 因为＝(1，ak＋1－ak)，＝(1，ak＋2－ak＋1)， 因为ak＋2－ak＋1＞ak＋1－ak，故与不共线，即Ak、Ak＋1、Ak＋2不共线， 因为＝－1＋(ak－ak＋1)(ak＋2－ak＋1)＜0， 所以，cos∠AkAk＋1Ak＋2＝ ＜0，则∠AkAk＋1Ak＋2为钝角， 所以△AkAk＋1Ak＋2为钝角三角形； (3)由k＜l＜m，m≥3. 因为{An}为T点列，由(2)知，an＋2－an＋1＞an＋1－an，n∈N*，所以am＋k－am＋k－1＞am＋k－1－am＋k－2，am＋k－1－am＋k－2＞am＋k－2－am＋k－3，…，am＋1－am＞am－am－1， 两边分别相加可得am＋k－am＞am＋k－1－am－1， 所以am＋k－1－am－1＞am＋k－2－am－2＞…＞al－al－k， 所以am＋k－am＞al－al－k，所以am＋k－al＞am－al－k，又＝(m＋k－l，am＋k－al)，＝(m－l＋k，am－al－k)，所以·j＝am＋k－al，·j＝am－al－k，所以. 解决“新定义”问题的方法 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！ 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，作：＝m，＝n.当m，n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S(m，n)＝|x1y2－x2y1|；当m，n共线时，规定S(m，n)＝0. (1)分别根据下列已知条件求S(m，n)： ①m＝(2,1)，n＝(－1,2)；②m＝(1,2)，n＝(2,4)； (2)若向量p＝λm＋μn(λ，μ∈R，λ2＋μ2≠0)， 求证：S(p，m)＋S(p，n)＝(|λ|＋|μ|)S(m，n)； (3)若A，B，C是以O为圆心的单位圆上不同的点，记＝a，＝b，＝c. (ⅰ)当a⊥b时，求S(c，a)＋S(c，b)的最大值； (ⅱ)写出S(a，a)＋S(b，c)＋S(c，a)的最大值．(只需写出结果) 解：(1)当m＝(2,1)，n＝(－1,2)， 且S(m，n)＝|x1y2－x2y1|时， S(m，n)＝|2×2－1×(－1)|＝5； 当m＝(1,2)，n＝(2,4)时， S(m，n)＝|1×4－2×2|＝0； (2)因为向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)， 且向量p＝λm＋μn(λ，μ∈R，λ2＋μ2≠0)， 则p＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)， 所以S(p，m)＝|(λx1＋μx2)y1－(λy1＋μy2)x1|＝|μ||x1y2－x2y1|， 同理S(p，n)＝|λ||x1y2－x2y1|. 所以S(p，m)＋S(p，n)＝(|λ|＋|μ|)S(m，n)； (3)(ⅰ)设〈c，a〉＝α，因为a⊥b， 所以〈c，b〉＝－α， 所以S(c，a)＋S(c，b)＝sin α＋sin， ∴sin α－cos α＝sin， 当α－＝，即α＝时， S(c，a)＋S(c，b)取得最大值； (ⅱ)S(a，b)＋S(b，c)＋S(c，a)的最大值为. 　　　平面向量的实际应用 [典例]　(2024·眉山模拟)如图甲是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．图乙是根据图甲作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别)．在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝8 m，BO＝16 m，PO＝12 m，·＝0.根据物理学知识得(＋)＋(＋)＝2，则CD＝(　　) A．28 m B．20 m C．31 m D．22 m [解析]　因为·＝0，所以PB⊥PC， 因为PO⊥BC，所以△POC∽△BOP， 所以＝，所以PO2＝OB·OC， 因为BO＝16 m，PO＝12 m，所以OC＝9 m， 设M，N分别为AB，CD的中点， 因为(＋)＋(＋)＝2， 所以＋＝2，所以O为MN的中点， 因为AB＝8 m，BO＝16 m，所以OM＝20 m， 所以ON＝20 m， 所以CN＝ON－OC＝20－9＝11 m， 所以CD＝2CN＝22 m. [答案]　D 用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是(　　) 图一　　　　图二 A．[1,2] B．[2,3] C. D. 解析：B　[如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝， 又·＝(＋)·(＋)＝||2＋·＋·＋· ＝||2＋·(＋)－1＝||2－1， 根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时|PO|有最小值为，此时||2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时|PO|有最大值为2，此时|P|2－1＝3，∴2≤·≤3.] 学科网（北京）股份有限公司 $$