主题2 第5章 第3节 等比数列及其前n项和-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第3节　等比数列及其前n项和 ★[课程标准] 1．通过实例，理解等比数列的概念． 2．探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．体会等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的概念 (1)如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比值　都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的　公比　，通常用字母q表示(q≠0)． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N＋，q为非零常数)． (2)如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么G2＝　ab　，即G＝±.我们称G为a，b的等比中项． 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)；通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A(A为常数且A≠0)． 3．等比数列的增减性 对于等比数列{an}，通项公式an＝a1qn－1＝·qn.根据指数函数的增减性，可分析当q＞0时等比数列{an}的增减性如下表． a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜q＜1 q＝1 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＞1 数列{an} 的增减性 　递减　 　数列　 常数列 　递增　 　数列　 　递增　 　数列　 常数列 　递减　 　数列　 4.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋l，则aman＝　apal　，其中m，n，p，l∈N＋，特别地，若2k＝p＋l，则apal＝a，其中p，q，l∈N＋. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为　qm　(k，m∈N＋)． (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为　qn　. 设数列{an}是首项为a1，公比是q的等比数列，Sn是其前n项和． 1．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·mbn}和(其中b，p，m是非零常数)也是等比数列． 2．若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 3．若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 4．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (5)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A.　　　　　　 B．{log2a} C．{an＋an＋1} D．{an＋an＋1＋an＋2} 答案：AD 2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　 B．12 C．6　　 D．3 解析：D　[设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0，由题意得 即 即解得 所以a6＝a1q5＝3.] 3．等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：B　[由题可知当数列为－2，－4，－8，…时，满足q＞0， 但是{Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若{Sn}是递增数列，则必有an＞0成立，若q＞0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q＞0成立，所以甲是乙的必要条件．] 4．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和为Sn＝________. 解析：当a＝1时，an＝1，Sn＝n; 当a≠1时， Sn＝.∴Sn＝ 答案： 5．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 解析：若q＝1，则由8S6＝7S3，得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意． 所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3， 所以8×＝7×， 即8×(1－q6)＝7×(1－q3)，即8×(1＋q3)(1－q3) ＝7×(1－q3)，即8×(1＋q3)＝7，解得q＝－. 答案：－ 　　　等比数列的基本运算 1．(2024·山东济南市历城第二中学模拟)在等比数列{an}中，已知a1＝2，a1－a3＋a5＝26，则a3＝(　　) A．20　　 B．12 C．8　　 D．4 解析：C　[设{an}的公比为q，则a1－a3＋a5＝a1－a1q2＋a1q4＝2(1－q2＋q4)＝26， 解得q2＝4，所以a3＝a1q2＝8.] 2．(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 解析：C　[由等比数列的性质可得S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…，为等比数列，因此(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，将S4＝－5，S6＝21S2代入上式，解得S2＝－1(舍)或，此时S6＝，由等比数列性质可知S4－S2，S6－S4，S8－S6为等比数列，解得S8＝－85.] 3．(2024·江苏省响水中学模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝，则{an}的公比为　________. 解析：因为{an}是等比数列，设{an}的公比为q， 若q≠1时， 由S6＝，可得2·＝＋， 整理得2q6＝q2＋q4，因为q≠0，所以2q4＝1＋q2即2(q2)2＝1＋q2， 解得q2＝－(舍去)或q2＝1，因为若q＝1时，S6＝6a1，＝＝3a1≠6a1，所以舍去，所以q＝－1， 综上所述，q＝－1. 答案：－1 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 提醒：运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论． 　　　　等比数列的判定与证明(师生共研) [典例]　(2024·江苏南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn＝2＋an＋1. (1)证明：数列{Sn－2}为等比数列； (2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜2. [证明]　(1)因为Sn＝2＋an＋1＝2＋(Sn＋1－Sn)，所以2Sn＝Sn＋1＋2，所以Sn＋1－2＝2(Sn－2)，因为S1－2≠0，所以Sn－2≠0，＝2，故数列{Sn－2}为首项为S1－2＝1，公比为2的等比数列． (2)由(1)可知Sn－2＝2n－1，所以＝＜，所以Tn＜1＋＋＋…＋ ＝＝2＜2. 等比数列的判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N＋)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N＋)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N＋)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可. (2024·全国模拟)在数列{an}中，已知各项都为正数的数列{an}满足5an＋2＋4an＋1－an＝0. (1)证明数列{an＋an＋1}为等比数列； (2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式． 解：(1)证明：各项都为正数的数列{an}满足5an＋2＋4an＋1－an＝0，得an＋1＋an＋2＝(an＋1＋an)，即＝，所以数列{an＋an＋1}是公比为的等比数列． (2)因为a1＝，a2＝，所以a1＋a2＝，由(1)知，数列{an＋an＋1}是首项为，公比为的等比数列，所以an＋an＋1＝×n－1，于是an＋1－n＋1＝－＝(－1)n，又因为a1－＝0，所以an－n＝0，即an＝n. 　　　等比数列的性质及其应用 ►[命题点1]　等比数列项的性质　 [典例1]　(1)(2024·江西模拟)在正项等比数列{an}中，a4a8a12＝2，则log4a2＋log2a14＝(　　) A. B. C. D. [解析]　由题得a4a8a12＝a＝2，所以a8＝，所以a2a14＝a＝2，所以log4a2＋log2a14＝log4a2＋log4a14＝log4(a2a14)＝log42＝. [答案]　A (2)(2024·石家庄模拟)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________. [解析]　因为＋＝，＋＝， 由等比数列的性质知a7a10＝a8a9， 所以＋＋＋＝＝÷＝－. [答案]　－ 1．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. 2．在一个无穷等比数列中，其中任何一项都是和这项项数距离相等的两项的等比中项，即a＝am－k·am＋k(m，k为正整数，且m＞k)． 1．(1)(2024·重庆八中模拟)各项均为正数的等比数列{an}满足log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝10，则a5a6＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　[因为各项均为正数的等比数列{an}满足log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝10， 所以log2(a1×a2×…×a10)＝10，即a1×a2×…×a10＝210. 因为{an}为正项等比数列，所以a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6， 所以(a5a6)5＝210，所以a5a6＝4.] (2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________. 解析：设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝1×(－2)＝－2. 答案：－2 ►[命题点2]　等比数列前n项和的性质　 [典例2]　(1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________. [解析]　法一：第一步：利用等比数列前n项和的性质． Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列． 第二步：应用等比中项列出方程求解． (S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)， 即(S2n－2)2＝2·(14－S2n)， 解得S2n＝6或S2n＝－4(舍去)，同理可得S4n＝30. 法二：第一步：设出首项和公比． 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知可得q≠1. 第二步：列出方程组求出整体qn和. ∵Sn＝2，S3n＝14， ∴两式相比得q2n＋qn－6＝0， 解得qn＝2或qn＝－3(舍去)，＝－2. 第三步：代入等比数列前n项和公式求出S4n. S4n＝＝－2×(1－24)＝30. [答案]　30 (2)(2024·全国模拟)已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 [解析]　设这个等比数列{an}共有2k(k∈N*)项，公比为q， 则奇数项之和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＝85， 偶数项之和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2k＝q(a1＋a3＋…＋a2k－1)＝qS奇＝170， ∴q＝＝＝2， 等比数列{an}的所有项之和为S2k＝＝22k－1＝170＋85＝255，则22k＝256， 解得k＝4，因此这个等比数列的项数为8. [答案]　C 1．在等比数列的基本运算中，一般利用通项公式和前n项和公式建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量． 2．在应用等比数列前n项和公式求解时，要注意整体思想的应用：当公比q≠1时，Sn＝(1－qn)，令＝t，则Sn＝t(1－qn)．把与qn当成一个整体求解． 等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，这个性质成立的前提条件是公比不为－1. 2．(1)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________. (3)(2024·全国模拟)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________. 解析：(1)若{an}是等比数列，则连续n项的和也成等比数列， 所以有S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列， 所以有(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)⇒(6－4)2＝4·(S6－6)⇒S6＝7. (2)法一：设等比数列{an}的公比为q，因为＝，所以{an}的公比q≠1.由÷＝，得q3＝－，所以＝＝. 法二：设等比数列{an}的公比为q，因为＝，所以公比q≠1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝. (3)由题意， 设奇数项的和为S1，偶数项的和为S2， 得⇒ 故公比q＝＝＝2. 答案：(1)A　(2)　(3)2 ►[命题点3]　与等比数列有关的最值问题　 [典例3]　(2024·武汉模拟)已知数列{an}是等比数列，若a2a5a8＝－8，则＋＋(　　) A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 [解析]　设等比数列{an}的公比为q，∵a2a5a8＝－8，∴a2a5a8＝a＝－8，∴a5＝－2，∴a1＝＜0，a1a9＝a＝4，∴＋＋＝＝ ＝1＋≥1＋×2＝，当且仅当－9a1＝，即a1＝－＜0时，取等号． [答案]　C 与等比数列最值有关问题的解题思路 求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用． 3．(2024·湖北模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1a2a3＝27，a4－a2＝－，则a1a2…an的最大值为(　　) A．9 B．8 C．3 D．27 解析：D　[设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则由a1a2a3＝27，a4－a2＝－， 得解得q＝，a1＝9， 所以a1a2…an＝9n1＋2＋…＋n－1＝＝， 当且仅当n＝2或n＝3时，a1a2…an的最大值为33＝27.] 学科网（北京）股份有限公司 $$