主题2 第5章 第2节 等差数列及其前n项和-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第2节　等差数列及其前n项和 ★[课程标准] 1．通过实例，理解等差数列的概念． 2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．体会等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：对于一个数列，如果从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个　常数　为等差数列的　公差　，通常用字母　d　表示． 符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)． (2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么 　A　叫作 　a与b　的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. 推广：①an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)． ②等差数列的通项公式与函数的关系an＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数． ③数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)． (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N＋，a1为首项，d为公差，an为第n项)． 推广：①等差数列的前n项和公式与函数的关系：Sn＝n2＋n ，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0. ②数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 3．等差数列的有关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和． (1)当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q ∈N＋)．特别地，若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak(m，n，k∈N＋)． (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是　递增　数列；当d＜0时，{an}是　递减　数列；当d＝0时，{an}是　常数列　. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…，仍是等差数列，公差为　md　(k，m∈N＋)． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列． 4．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最　大　值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最　小　值． 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和． 1．有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2.也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的. 3．在等差数列{an}中， (1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝. (2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝. 4．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝. 5．若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 6．若am＝n，an＝m(m≠0)，则am＋n＝0. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和公式为n的二次函数．(　　) (5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为(　　) A．90　　 B．100 C．487　　 D．505 解析：C　[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.] 2．(多选)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是(　　) A．若S5＝S9，则必有S14＝0 B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项 C．若S6＞S7，则必有S7＞S8 D．若S6＞S7，则必有S5＞S6 解析：ABC　[对于A，若S5＝S9，必有S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝＝＝0，A正确； 对于B，若S5＝S9，必有S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确； 对于C，若S6＞S7，则a7＝S7－S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8－S7＜0，必有S7＞S8，C正确； 对于D，若S6＞S7，则a7＝S7－S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误．] 3．(BSD选择性必修第二册P15练习T2改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a10＝(　　) A．18 B．16 C．20 D．17 解析：A　[因为a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10，又a7＝12，所以d＝2，所以a10＝a7＋3d＝12＋6＝18.] 4．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 解析：C　[由题意知，a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45， 所以a4＝5，a8＝9， 从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4， 所以S5＝5a3＝20.] 5．(忽视数列的特殊项致误)在等差数列{an}中，a1＜0，S9＝S12，则该数列的前________项的和最小． 解析：因为S9＝S12，所以9a1＋d＝12a1＋d，所以a1＝－10d＜0， 所以d＞0.则有an＝－10d＋(n－1)d＝nd－11d.令an＝nd－11d≤0，则n≤11， 所以n≤11，所以当n＝10或11时，Sn有最小值． 答案：10或11 　　　等差数列的基本运算 1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若4S1＝3S2＋S4，a5＝5，则a10＝(　　) A．3　　 B．7 C．11　　 D．15 解析：D　[设等差数列{an}的公差为d， 由得 解得∴a10＝a1＋9d＝－3＋18＝15.] 2．(2024·福建省华安县模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：D　[∵{an}是等差数列，∴Sm＝ ＝0⇒a1＝－am＝－(Sm－Sm－1)＝－2， 又am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1， 3＝am＋1＝a1＋m＝－2＋m⇒m＝5.] 3.(12分)(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；切入点：找到a1和d的关系 (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.关键点：利用等差数列的性质 ►[答题模板] (1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d①， 解得a1＝d，(1分) ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d②，(2分) 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝③， ∴S3＋T3＝6d＋＝21，(3分) 即2d2－7d＋3＝0④， 解得d＝3或d＝(舍去)，(5分) ∴an＝a1＋(n－1)·d＝3n.⑤(6分) (2)∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3，即＝＋⑥， ∴6＝＝，(7分) 即a－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d⑦，(8分) ∵d＞1，∴an＞0， 又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1⑧，(9分) ∴a50－＝1，即a－a50－2 550＝0⑨， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去)(10分) 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d＞1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51， 解得d＝⑩. 综上，d＝.(12分) ►[得分点①]　找到a1和d之间的关系得1分 ►[得分点②]　求出S3得1分 ►[得分点③]　求出T3得1分 ►[得分点④]　列式求d得2分 ►[得分点⑤]　得到通项公式得1分 ►[得分点⑥]　建立a1，a2，a3之间的联系得1分 ►[得分点⑦]　找到a1和d之间的关系得1分 ►[得分点⑧]　得到a50－b50＝1得1分 ►[得分点⑨]　求a50得1分 ►[得分点⑩]　求d得2分 ►[教材知识迁移与运用] 条件 S99－T99＝99 教材 知识 已知等差数列{an}的首项a1和通项公式an，则其前n项和公式为Sn＝ 由三个数a，A，b成等差数列，则有2A＝a＋b 迁移 与运用 因为S99－T99＝－，且a1＋a99＝2a50，b1＋b99＝2b50，所以S99－T99＝－＝99a50－99b50＝99，故a50－b50＝1 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 　　　等差数列的判定与通项 [母题]　若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [破题关键点]　(1)将an＋2SnSn－1＝0(n≥2)转化为Sn与Sn－1的关系等式；(2)先求出Sn，再利用an与Sn的关系求an. [解]　(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 当n＝1时，a1＝不适合上式． 故an＝ [子题1]　将母题条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝”改为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解． 解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0. ∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0， 即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0. 即－＝.又＝＝. 故数列是以首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知＝，∴Sn＝，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－， 当n＝1时，a1＝2不适合上式， 故an＝ [子题2]　(2024·江苏常州模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝3－. (1)若bn＝2nan，求证：数列{bn}是等差数列； (2)求出数列{an}的通项公式an和前n项和Sn. 解：(1)证明：由Sn＋an＝3－， 得Sn－1＋an－1＝3－，n≥2. 相减得2an－an－1＝，即an＝an－1＋. 所以bn－bn－1＝2nan－2n－1an－1 ＝2n－2n－1an－1＝1， 故数列{bn}是等差数列． (2)当n＝1时，S1＋a1＝3－1，则a1＝1，b1＝21a1＝2， 由于数列{bn}是等差数列， 故bn＝2nan＝n＋1，∴an＝. ∴Sn＝－an＋3－＝3－. 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数． (2)等差中项法：验证2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)都成立． (3)通项公式法：验证an＝pn＋q. (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断． 提醒：要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 　　　等差数列的性质及其应用 ►[命题点1]　等差数列项的性质　 1．(1)(2024·海南海口模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＝3(a3＋a5＋am)，则m＝(　　) A．9　　 B．8 C．7　　 D．6 解析：C　[因为S9＝3(a3＋a5＋am)，又S9＝9a5， 所以9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以a3＋a5＋am＝3a5，即a3＋am＝2a5， 设等差数列{an}的公差为d，则a1＋2d＋a1＋(m－1)d＝2(a1＋4d)， 所以(m＋1)d＝8d，又d≠0，所以1＋m＝8，所以m＝7.] (2)(多选)(2024·福建泉州模拟)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，且a1＝－5，S3＝－9，则(　　) A．d＝2 B．S2，S4，S6为等差数列 C．数列{2an}是等比数列 D．S3是Sn的最小值 解析：ACD　[由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－9，所以a2＝－3，所以d＝a2－a1＝2，故A正确； 由等差数列性质S4－S2＝a3＋a4，S6－S4＝a5＋a6，a3＋a4≠a5＋a6， 所以S2，S4，S6不是等差数列，故B错误； 因为an＝a1＋(n－1)d＝－5＋2(n－1)＝2n－7， 所以＝＝4，所以数列是等比数列，故C正确； 当an＝2n－7≤0时，n≤，即数列{an}中，a1，a2，a3均为负数， 当n≥4时，an＞0.所以S3是Sn的最小值，故D正确．] 上面两题目都可以根据基本方法，通过列方程(组)的方法得到首项和公差的关系式，但利用等差数列的性质求解则显得更为简单快捷．其中两题都用到了性质：若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.还体现了整体代换的数学思想． ►[命题点2]　等差数列前n项和的性质　 2．(1)一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为21，则前2n项的和为(　　) A．18 B．12 C．10 D．6 解析：C　[∵{an}是等差数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列， 即2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)， ∵Sn＝3，S3n＝21， ∴2(S2n－3)＝3＋21－S2n，解得S2n＝10.] (2)(2024·陕西省丹凤中学模拟)已知数列{an}是等差数列，＝，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由＝，得S6＝3S3， 设S3＝m，则S6＝3m， 因为数列{an}是等差数列， 所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…，是以m为首项，m为公差的等差数列， 所以S9－S6＝3m，S12－S9＝4m， 所以S9＝6m，S12＝10m，所以＝＝.] 1．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S2n－1＝(2n－1)an. 2．若等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，则＝. 　　　　等差数列的前n项和的最值问题 [典例]　(1)(2024·浙江省新昌中学模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，若对任意的n∈N＋，总存在k∈N＋，使S2k－1＝(2k－1)Sn.则k－9n的最小值为(　　) A．－74 B．－64 C．－53 D．－43 [解析]　由题意得＝(2k－1)Sn，则得＝(2k－1)Sn，即ak＝Sn， 令n＝2，得ak＝S2，即a1＋(k－1)d＝2a1＋d，①即得k－2＝. 因为首项a1＞0，公差d＜0，则得k－2＝＜0，即k＜2. 又因为k∈N＋，所以k＝1，代入①得d＝－a1. 当d＝－a1时，由ak＝Sn，得a1－(k－1)a1＝na1－， 即k＝＋1，所以k－9n＝n2－n＋2，即k－9n＝·2－， 因此当n＝10或11时，k－9n的最小值为－53. [答案]　C (2)在等差数列{an}中，前n项和为Sn，已知a1＝20，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值． [解]　第一步：利用已知求出公差d. ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d， ∴d＝－. 法一： 第二步：写出数列的通项公式，找到正、负分界等于零的项． 由an＝20＋(n－1)×＝－n＋， 得a13＝0. 即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0. ∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值． 第三步：找到n后，代入等差数列的前n项和公式即可求出最大值． ∴Sn的最大值为S12＝S13 ＝12×20＋×＝130. 法二： 第二步：写出等差数列的前n项和Sn，然后配方找出对称轴，由于n∈N＋，确定n的值． Sn＝20n＋·＝－n2＋n ＝－2＋. ∵n∈N＋，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值， 第三步：找到n后，代入等差数列的前n项和公式即可求出最大值． Sn的最大值为S12＝S13＝130. 法三： 第一步：由已知和等差数列的性质可得a13＝0. 由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. 第二步：确定取得最大值的相应的n的值，代入等差数列的前n项和公式即可求出最大值． ∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130. 求等差数列前n项和的常用方法 (1)运用配方法将Sn的表达式转化为二次函数，借助二次函数的单调性及数形结合的思想，从而使问题得到解决．但需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件；若对称轴取不到，则需要考虑n取最接近对称轴的正整数；若对称轴在两个正整数中间，此时有两个符合题意的n值． (2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1＞0，Sp＝Sq，且p≠q，则 ①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大； ②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大． 1．(2024·全国模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＞S8，S8＝S9＜S10，则下面结论错误的是(　　) A．a9＝0 B．S15＞S14 C．d＜0 D．S8与S9均为Sn的最小值 解析：C　[对于A选项，由S8＝S9，可得a9＝S9－S8＝0，A选项正确； 对于C选项，由S7＞S8，可得a8＝S8－S7＜0，∴d＝a9－a8＝－a8＞0，C选项错误； 对于D选项，由S10＞S9，可得a10＝S10－S9＞0，且a9＝0，a8＜0，d＞0，所以当n≤8且n∈N＋时，an＜0，且a9＝0，则S8与S9均为Sn的最小值，D选项正确； 对于B选项，∵a9＝0，d＞0，当n≥10时，an＞a9＝0，所以S15－S14＝a15＞0，B选项正确．] 2．(2024·江西上饶模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4 047＞0，S4 046＜0，则当n＝______时，Sn最小． 解析：根据等差数列的前n项和公式和性质得： S4 047＝＝4 047a2 024＞0 ⇒a2 024＞0， S4 046＝＝2 023(a1＋a4 046)＜0⇒a2 023＋a2 024＜0， ∴a2 023＜0，a2 024＞0，∴{an}的前2 023项为负，从2 024项开始为正，故前2 023项和最小． 答案：2 023 学科网（北京）股份有限公司 $$