主题2 第5章 第1节 数列的概念及其函数特性-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第1节　数列的概念及其函数特性 ★[课程标准] 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 1．数列的概念 (1)数列的定义：按　一定次序　排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． (2)数列与函数的关系：数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． (3)数列有三种表示法，它们分别是　列表法　、　图象法　和　通项公式法　. 2．数列的分类 分类原则 名称 含义 举例 按项数 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,4，…，n 无穷数列 项数无限的数列 1,4,9，…，n2，… 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成　an＝f(n)　，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数. 4．数列的单调性定义 (1)一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫作递增数列． (2)如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1＜an，那么这个数列叫作递减数列． (3)如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． 1．已知数列{an}的前n项和Sn， 则an＝ 2．典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an＋1＝an＋f(n) 累加法 a1＝1，an＋1＝an＋2n an＋1＝anf(n) 累乘法 a1＝1，an＋1＝2nan an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0) 化为等比数列 a1＝1，an＋1＝2an＋1 an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0) 化为等差数列 a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1 其中(1)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的求解方法是：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋pλ－λ，与an＋1＝pan＋q比较即可知只要λ＝. (2)an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得－＝q，数列为等差数列． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(　　) (2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(　　) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：B　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.] 2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　) A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项或第6项 解析：D　[令an＝n2－8n＋15＝3， 整理可得n2－8n＋12＝0， 解得n＝2或n＝6. 故3是数列{an}中的第2项或第6项．] 3．数列，，，，…中，有序实数对(a，b)可以是(　　) A．(21，－5) B．(16，－1) C. D. 解析：D　[由数列中的项可观察规律，5－3＝10－8＝17－(a＋b)＝(a－b)－24＝2， 解得a＝，b＝－.] 4．(BSD选择性必修第二册P7习题1－1A组T1(1)改编)根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式an＝________. 解析：由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳得an＝5n－4. 答案：5n－4 5．(忽略数列与函数的区别致错)已知数列an＝n2－tn＋2是递增数列，则实数t的取值范围是　________. 解析：依题意，an＋1＞an，即(n＋1)2－t(n＋1)＋2＞n2－tn＋2，得t＜2n＋1，又2n＋1≥3，∴t＜3. 答案：(－∞，3) 　 　　　由an与Sn的关系求通项公式an 1．若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋2n＋1，则{an}的通项公式是an＝________. 解析： 因为当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2， 由于a1不适合此式， 所以an＝ 答案： 2．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________. 解析：当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2， ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，② 由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1， ∴an＝(n≥2)． 显然当n＝1时不满足上式，∴an＝ 答案： 3．(2024·安徽师范大学附属中学模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋an(n∈N＋)．求{an}的通项公式． 解：由题意，当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1， 则2an＝a－a＋an－an－1，可得an＋an－1 ＝(an＋an－1)(an－an－1)， 由数列是正项数列可知，an－an－1＝1， 又2S1＝a＋a1， 得a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以an＝1＋(n－1)＝n. 4．(2024·黑龙江大庆实验中学模拟)已知正项数列{an}满足a1＝1，前n项和Sn满足an＝＋(n≥2，n∈N＋)，求数列{an}的通项公式． 解：∵an＝＋(n≥2，n∈N＋)，∴Sn－Sn－1＝＋， ∴－＝1，∴是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴＝n，即Sn＝n2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 当n＝1时，a1＝1也成立，∴an＝2n－1. 已知Sn求an时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”． (3)由Sn－Sn－1＝an，推得an，当n＝1时，若a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝ 提醒：在利用数列的前n项和求通项公式时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形． 　 　　 由数列的递推关系求数列的通项公式 ►[命题点1]　形如an＋1＝an＋f(n)，求an　 1．(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式． 解：(1)由题意，得an＋1－an＝＝－， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋… ＋＋＋2＝3－. (2)由题意知an＋1－an＝2n， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1. ►[命题点2]　形如an＋1＝anf(n)，求an　 2．(2024·浙江宁波市北仑中学高二开学考试)已知数列{an}满足：a1＝，an＋1＝an，(n∈N＋)且其前n项和为Sn.求an与Sn. 解：(1)由an＋1＝an，得＝， 当n≥2时， an＝a1··…＝×××…×＝， 又an＝也满足上式，故an＝(n∈N＋)． Sn＝＋＋＋…＋，① ∴Sn＝＋＋…＋＋，② ①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝－， ∴Sn＝. ►[命题点3]　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an　 3．(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式． 解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3， ∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. (2)(2024·广州调考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为________． 解析：因为Sn＋1－2Sn＝1， 所以Sn＋1＝2Sn＋1. 因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式， 所以an＝2n－1，n∈N＋. 答案：an＝2n－1，n∈N＋ ►[命题点4]　形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an　 4．(2024·全国模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则满足an＞的n的最大取值为(　　) A．7　　 B．8 C．9　　 D．10 解析：C　[因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1， 数列是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝，由an＞，即＞，即0＜4n－3＜37，解得＜n＜10，因为n为正整数，所以n的最大值为9.] 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度1)．注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度3、4)转化为特殊数列求通项． 1．(2024·河南模拟)在数列{an}中，an＋1－an＝3n－22，a1＝－2，则a30＝(　　) A．659 B．661 C．663 D．665 解析：D　[因为an＋1－an＝3n－22，所以a2－a1＝－19，a3－a2＝－16，…，a30－a29＝65， 所以a30－a1＝＝667，故a30＝a1＋667＝665.] 2．(2024·全国模拟)数列{an}满足：a1＝，(2n＋2－1)an＋1＝(2n＋1－2)an(n∈N＋)，则{an}的通项公式为________． 解析：由(2n＋2－1)an＋1＝(2n＋1－2)an，得＝＝2·， 则··…＝2··2··2·…2· ＝2n－1·， 即＝，又a1＝， 所以an＝. 答案：an＝ 3．(多选)(2024·浙江模拟)数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，a1＝1，则下列结论正确的是(　　) A.＝＋ B．是等比数列 C．(2n－1)an＝1 D．3a5a17＝a49 解析：ABC　[由an＋1＝，且a1＝1，则a2＝＞0，a3＝＞0， 以此类推可知，对任意的n∈N＋，an＞0， 所以＝＝＋2， 所以－＝2，且＝1， 所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2， 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，则(2n－1)an＝1，其中n∈N＋，C正确；＝＝22＝4，所以数列是等比数列，B正确；由等差中项的性质，可得＝＋，A正确；由以上可知an＝，则3a5a17＝3××＝，a49＝＝，所以3a5a17≠a49，D错误．] 　　　数列的函数特性 ►[命题点1]　数列的单调性　 1．已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：D　[因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N＋，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N＋恒成立，所以k∈(0，＋∞)．] 2．(2024·河南温县模拟)已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N＋)且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(2,3) D．[2,3) 解析：C　[因为数列{an}是单调递增数列，则函数f(x)＝ax－6在(7，＋∞)上为增函数，可得a＞1， 函数f(x)＝(3－a)x－3在[1,7)上为增函数，可得3－a＞0，可得a＜3， 且有a7＜a8，即7(3－a)－3＝18－7a＜a8－6，即a2＋7a－18＞0，解得a＜－9或a＞2. 综上所述，2＜a＜3.] 3．(多选)已知数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋2bn＋ln(n∈N＋)，a1＋b1＞0，给出下列四个命题，其中真命题是(　　) A．数列{an－bn}单调递增 B．数列{an＋bn}单调递增 C．数列{an}从某项以后单调递增 D．数列{bn}从某项以后单调递增 解析：BCD　[因为an＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋2bn＋ln，所以an＋1－bn＋1＝an－bn－ln， 当n＝1时，a2－b2＝a1－b1－ln 2 ，所以a2－b2＜a1－b1，所以A错误； an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)＋ln，an＋1＋bn＋1－ln(n＋1)＝3(an＋bn－ln n)， 所以{an＋bn－ln n}是等比数列，an＋bn＝(a1＋b1)·3n－1＋ln n，所以B正确； an＋1＝2an＋bn＝an＋ln n＋(a1＋b1)3n－1，故an＋1－an＝ln n＋(a1＋b1)3n－1＞0，C正确； 因为bn＋1＝bn＋an＋bn＋ln ，所以bn＋1－bn＝ln (n＋1)－2 ln n＋(a1＋b1)3n－1， 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D正确．] 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 (1)作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断； (3)结合相应函数的图象直观判断． ►[命题点2]　数列的周期性　 4．(1)(2024·全国模拟)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝4，an＋an＋1＋an＋2＝2，则a2 025＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析：D　[因为a1＝2，a2＝4，an＋an＋1＋an＋2＝2，所以an＋2＝2－an＋1－an， 则a3＝2－a2－a1＝－4，a4＝2－a3－a2＝2，a5＝2－a4－a3＝4，…， 所以数列{an}是以3为周期的数列，则a2 025＝a675×3＝a3＝－4.] (2)(2024·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＋(－1)n＋1an＝sin (n∈N＋)，则S2 024＝(　　) A．－ B．0 C. D. 解析：B　[当n为奇数时有an＋1＋an＝sin ，函数y＝sin (n∈N＋)的周期为8， 故有an＋9＋an＋8＝an＋1＋an，a2＋a1＝sin ＝，a4＋a3＝sin ＝，a6＋a5＝sin ＝－，a8＋a7＝－，…，按此规律循环重复下去，S8＝0， 故有S2 024＝253×0＝0.] 1．类比周期函数的概念，我们可以定义：对于数列{an}，如果存在一个常数T(T∈N＋)，使得对于任意的正整数n＞n0，恒有an＋T＝an成立，那么称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列．若n0＝1，则称数列{an}为纯周期数列；若n0≥2，则称数列{an}为混周期数列．T的最小值称为最小正周期，简称周期． 2．解决数列周期性问题时，可先根据已知条件求出数列的前几项，当出现各项重复性地出现后，便可由此确定该数列的最小正周期T，再根据公式an＋T＝an将所求项转化为下标较小的项，从而求得该项的值． ►[命题点3]　数列的最值　 [典例]　(1)(2024·湖北模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则使得Sn取得最小值时n的值为________． [解析]　由an＝，a1＜0，故当n≤16时，3n－49＜0，an＜0，当n≥17时，3n－49＞0，且an＞0， 所以当n＝16时，Sn最小． [答案]　16 (2)已知数列{an}的通项公式为an＝n－1，则数列{an}中的最小项为(　　) A．a1 B．a2 C．a3 D．a4 [解析]　因为an＝n－1≤0，(n∈N＋)， 所以－an＝n－1≥0， 所以－an≤2＝， 当且仅当n－1＝1－n－1⇒n＝＋1时取“＝”． 又因为3＜＋1＜4. 当n＝3时，a3＝2＝－. 当n＝4时，a4＝3＝－. 所以数列{an}中的最小项为a3. [答案]　C 求数列的最大项、最小项的常见方法 1．利用“两边夹”思想 设an为数列{an}中的最大项， 则有 (n≥2)． 解出适合上述不等式组的n值，从而确定数列的最大项． 类似地，设an为数列{an}中的最小项，则有(n≥2)． 解出适合上述不等式组的n值，便能确定数列的最小项． 2．利用函数思想 (1)数列是特殊函数，具有函数的一些特性，求数列项的最值完全可以依据研究函数最值的方法解决，但特别要注意数列的项数n只能是正整数． (2)根据条件构造相应的函数，通过配方、作差、作商等方法来确定函数的单调性，进而确定数列的单调性，再求出数列的最大项或最小项． (3)给出一个数列{an}，若能够判断数列{an}为递增数列，则该数列具有以下性质： a1＜a2＜…＜an＜…，故(an)min＝a1. 反之，若该数列为递减数列，则有a1＞a2＞…＞an＞…，故(an)max＝a1. 学科网（北京）股份有限公司 $$