抛物线的简单几何性质课时作业-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

课时作业(三十)　抛物线的简单几何性质 [练基础] 1．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　) A．(－m，－n) B．(m，－n) C．(－m，n) D．(－n，－m) 2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(－5，2)在抛物线上，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝－2x B．y2＝－4x C．y2＝2x D．y2＝4x 3．垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且|AB|＝4，求直线AB的方程(　　) A．x＝3 B．x＝ C．y＝3 D．y＝ 4．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 5．已知抛物线y＝mx2(m＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则焦点F的坐标为(　　) A．(0，) B．(0，) C．(0，) D．(0，) 6．(多选)已知抛物线C：x2＝2py(p≠0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝2y D．x2＝－2y 7．[2022·湖南师大附中高二期中]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝________． 8．抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形，则该三角形的边长为________． 9．设抛物线C：y2 ＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A、B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|＋|BF|＝6. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程． [提能力] 10．若正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是(　　) A．48 B．24 C． D．46 11．[2022·湖南长郡中学高二期中](多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　) A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2 12．过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________． 13．已知抛物线C1：y2＝8x的焦点为F，圆C2：(x－2)2＋y2＝16与抛物线C1在第一象限的交点为A(x0，y0)，直线l：y＝t(0＜t＜y0)与抛物线C1的交点为B，直线l与圆C2在第一象限的交点为D，则y0＝________；△C2DB周长的取值范围为________． 14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－1，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为. (1)求实数p的值； (2)求△OAB的面积． [培优生] 15．已知抛物线y＝x2和y＝－x2＋5所围成的封闭曲线如图所示，给定点A(0，a)，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(2，4) C．(，3) D．(，4) 课时作业(三十)　抛物线的简单几何性质 1．解析：由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上． 答案：B 2．解析：根据题意设出抛物线的方程y2＝mx(m≠0)， 因为点(－5，2)在抛物线上，所以有20＝－5m，解得m＝－4， 所以抛物线的方程是：y2＝－4x. 答案：B 3．解析：由垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且|AB|＝4，根据抛物线y2＝4x关于x轴对称，则A(x，2)，B(x，－2)，将点A坐标代入抛物线方程可得：12＝4x，解得x＝3. 答案：A 4．解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1，0). ∴当k＝0时，直线y＝0与抛物线有一个公共点，即顶点； 当k≠0时，点(1，0)在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点， 综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点． 答案：C 5．解析：y＝mx2(m＞0)的方程的标准形式为x2＝y，则F(0，)，所以直线AB的方程为y＝x＋，与y＝mx2(m＞0)联立，消去x，得3y2－y＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，由y1＋y2＋＝6，解得＝，所以焦点F的坐标