8.3.2 组合（第2课时）课件-2023-2024学年高二下学期中职数学北师大版（2021年）拓展模块一下册

8.3.2 组合（第2课时） 中职数学北师大版（2021年）拓展模块一下册 1 问题导入 1.排列的定义： 一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 2.组合的定义： 一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 3.排列数概念： 4.排列数公式： 追问 排列与组合的定义有什么区别和联系呢？ 什么是排列、组合、排列数？ 我们把从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示. 是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷地求出组合个数？ [问题1] 问题导入 新知探究 类比排列数，我们引进组合数概念： 取出元素数 组合的第一个字母 元素总数 m，n 所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 组合数 从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示. 符号 中的C是英文combination (组合)的第一个字母. 是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而便捷地求出组合个数？ [问题1] 新知探究 例如，从 1，2 这两个元素中，每次任意取出 1 个作为一个组合，那么它可以构成两个组合，即 =2，即从 2 个元素中任取 1 个元素的组合数. 从 3 个不同元素中，取出 2 个元素的组合数表示为 ; 从 4 个不同元素中，取出 3 个元素的组合数表示为 . 组合数 从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示. 新知探究 思考 组合数与排列数的之间有什么关系？探究组合数的计算公式. 从 4 个不同元素a, b, c, d中取出 3 个元素的排列与组合的关系如下： 组合 排列 abc abc bac cab acb bca cba abd abd bad dab adb bda dba acd acd cad dac adc cda dca bcd bcd cbd dbc bdc cdb dcb [问题2] 求从 4 个不同元素a, b, c, d中取出 3 个元素的组合数. 新知探究 由上述对应关系可以看出，对于相应的每一个组合，都有 个不同的排列.因此，求从 4 个不同元素中取 3 个元素的排列数，可以按照下面的考虑方法分两步完成: 第 1 步，从 4 个不同元素中取出 3 个元素做组合，共有个，由上述对应关系可知=4; 第 2 步，对每一组合中的 3 个不同元素做全排列，每一组合对应的全排列都是=6个. 根据分步计数原理，得 所以 新知探究 一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 ，可以分如下两步完成: 第1步，求从这 n 个元素中取出 m 个元素的组合数 ; 第2步，求每一个组合中 m 个元素的全排列数 . 根据分步计数原理，得 由此可得： 新知探究 这里的 n ，m∈N*，并且 m≤n ，这个公式叫做组合数公式. 所以上面的公式还可以写成 另外，我们规定: 组合数公式 因为 新知探究 [问题3]（1）上述组合数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？ （2）在求组合数时，应该如何选择两个公式？ 答：1.公式 (m ，n∈N*，且m≤n) ， 一般用于求值计算. 2.公式 (m ，n∈N* ，且m≤n) ， 一般用于化简证明. 具体选择公式时，要根据题目特点正确选择. 新知探究 解 例2 从 10 名运动员中，选出 3 名参加比赛，则有多少种选法? 解 实际上这是从 10 个不同元素中取出3个元素的组合问题， 即 也就是说，有 120 种选法. 例1 计算 及 . 新知探究 例3 平面内有 12 个点，其中任意 3 点都不在同一条直线上，以任意 3 点为顶点画三角形，一共可画多少个三角形? 解 因为平面内的 12 个点中任意 3 点都不在同一直线上，所以，任意 3 个点都可以看作一个三角形的顶点，求可画多少个三角形，就是从 12 个不同元素中取出 3个元素的组合数，即 排列问题与组合问题的根本区别在于