2.5.1直线与圆的位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 1 2 初中判别直线与圆位置关系的方法: 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 位置关系 判别方法 2个交点 1个交点 没有交点 3 (1)直线与圆相交, ; (2)直线与圆相切, ; (3)直线与圆相离, ; C l d r 相交: C l 相切: C l 相离: 判别直线与圆位置关系的方法: 法一(代数法): 3x+y-6=0 ① x2+y2-2y-4=0 ② 得: x2-3x+2=0 解得: x1=1, x2=2 ∴直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3). 由方程组: ① 例1. 法二(几何法): 将圆方程化为标准式为:x2+(y-1)2=5 ∴圆心坐标为(0,1),半径为 圆心到直线l的距离 ∴直线l与圆相交,有两个公共点. . x y O C A B l 例1. 6 判断直线和圆的位置关系 8 大本课堂达标4、过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为_. 解析 设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2. 当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦, x=2 例2. 例2. x=2 训练2 A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0 C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0 √ x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2), 索引 12 √ 索引 13 设而不求的思想 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 三、创新拓展 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 例3.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20米,拱高OP=4米,在建造时每隔4米需要用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度。 答:支柱A2P2的长度约为3.86米 把x=-2代入圆方程得y=3.86(y>0) 因为P、B在圆上,故 x2+(y – b)2=r2 解得:b=-10.5 r2=14.52 所以圆的方程为: x2+(y+10.5)2=14.52 P2 P B A O A1 A3 A4 A2 x y 解:如图,以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则P(0,4),B(10,0) ,设圆心为(0,b),半径为r,则圆的方程是 例4:一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心为圆心,半径为20km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西40km处,港口位于小岛中心正北30km处。如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁的危险? x O y 解:以小岛中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立直角坐标系,取 10km 为单位长度. 则港口所在坐标为(0,3),船所在坐标为(4,0). . 港口 . 轮船 小岛 . 受暗礁影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为: 轮船航线所在直线 l 的方程为: 用坐标法解决实际问题“三步曲” 1).建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问 题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题。 2).通过代数运算,解决代数问题(有目的地). 3).把代数运算结果“翻译”成几何结论. 几何 代数 几何 规律方法 求直线与圆相交时弦长的两种方法: (1)几何法:如图1,直线l与圆C交于A,B两 点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为 |AB|,则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2+d2=r2. 即AB=2eq \r(r2-d2). (2)代数法:如图2所示,将直线方程与 圆 的方程联立,设直线与圆的两交点分别是 A(x1,y1),B(x2,y2), 则AB=eq \r( x1-x2 2+ y1-y2 2) =eq \r(1+k2)|x1-x2|= eq \r(1+\f(1,k2))|y1-y2|,其 中k为直线l的斜率. 变式训练: 过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,如果 |AB|=8,求直线l的方程. ∵|CA|=eq \r((2-3)2+(2-1)2)=eq \r(2), ∴半弦长为eq \r(r2-|CA|2)=eq \r(4-2)=eq \r(2). ∴最短弦的长为2eq \r(2). 2 kPC=eq \f(1,2),∴切线的斜率k=-2, ∴切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0. (1)过圆x2+y2-2x-4y=0上一点P(3,3)的切线方程为 圆心C(3,0)到直线y=x+1的距离d=eq \f(|3-0+1|,\r(2))=2eq \r(2). 所以切线长的最小值为l=eq \r((2\r(2))2-12)=eq \r(7). A.1 B.2eq \r(2) C.eq \r(7) D.3 (2)由直线y=