9.6梁的变形及刚度计算(课件）-《土木工程力学基础》同步教学（化学工业出版社）

第九章 梁的承载能力计算 知识目标： 理解纯弯曲、横力弯曲的概念 熟悉梁横截面上的正应力及强度计算公式 理解提高梁弯曲强度的措施 了解梁的变形计算 能力目标： 会描述梁横截面上的正应力和剪应力分布规律 熟练掌握梁的弯曲正应力强度计算 会进行梁的剪应力强度校核 能阐述提高梁弯曲强度的措施 第九章 梁横截面上的切应力 第二节 纯弯曲梁横截面上的正应力 第一节 梁的弯曲强度计算 第三节 提高梁的弯曲强度的措施 第四节 梁的变形及刚度计算 第六节 梁的应力状态 第五节 第六节　梁的变形及刚度计算 一、平面弯曲梁的变形描述 　　当荷载作用在梁的纵向对称平面内时，梁就会发生平面弯曲变形，梁的轴线由直线弯曲成一条光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线，如图9-34所示。 　　弯曲变形的梁上每个横截面都发生了移动和转动，因为梁上各横截面沿轴线方向的线位移很微小，可忽略不计，所以通常用如下两个位移量来描述梁的变形：挠度和转角。 　　1. 挠度：梁横截面的形心在垂直于梁轴线方向上的线位移称为挠度，用y表示，并规定向下为正，反之为负，其单位与长度单位一致。 　　2. 转角：梁横截面绕其中性轴转动的角度称为转角，用θ表示，并规定顺时针的转角为正，反之为负，其单位用弧度（rad）表示。 图9-34 二、平面弯曲梁的变形计算 　　1. 梁的挠曲线方程 　　在材料力学中计算梁的变形时，通常选梁的左端点为坐标原点，以变形前的梁轴线为x轴，x轴以向右为正，y轴以向下为正，建立平面直角坐标系，如图9-34所示。一般来说，梁的挠度y和转角θ都随截面位置x的变化而变化，它们都是截面位置x的函数，y=f(x)称为梁的挠曲线方程，θ=θ(x)称为梁的转角方程。由微分学知，过挠曲线上任意点的切线与x轴夹角的正切就是挠曲线在该点处的斜率，即tanθ=dy/dx，梁在小变形的条件下，θ值很微小，θ≈tanθ，于是梁的挠度与转角的关系可写为：θ=tanθ=dy/dx=y’ 上式表明，梁的挠曲线方程对x的一阶导数就是梁的转角方程。因此，计算梁变形的关键就是确定梁的挠曲线方程。 　　 二、平面弯曲梁的变形计算 　　2. 梁的挠曲线近似微分方程 　　略去了剪力对梁弯曲变形的影响，并且在推导过程中略去了高阶微量，利用力学及数学知识可推导出梁的挠曲线近似微分方程为 （9-16） 求解这一微分方程，就可以得到梁的挠曲线方程，从而可求得梁上任一横截面的挠度和转角。 　　3.平面弯曲梁的变形计算 　　工程中计算梁变形的方法很多，在材料力学中计算梁变形的方法主要有积分法和叠加法两种，其中积分法是最基本的方法，叠加法是较为简便的实用方法。 二、平面弯曲梁的变形计算 　　（1）积分法 　　将公式（9-16）逐次积分，就得到梁的转角方程（9-17）和挠曲线方程（9-18） （9-17） （9-18） 　　这种利用两次积分求出挠曲线方程的方法称为二次积分法，简称积分法。方程中的积分常数C1、C2，可由梁的边界条件（梁的约束条件）和变形的连续条件确定。 二、平面弯曲梁的变形计算 　　（2）叠加法 　　在梁的变形微小且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角都与梁上的荷载成线性关系，满足叠加法的适用条件。因此，当梁在几个荷载同时作用时，其任一横截面处的挠度（或转角）等于各个荷载单独作用时该截面处的挠度（或转角）的代数和。 　　【例9-10】 简支梁受荷载作用如图9-37（a）所示，已知梁的EI为常数，试用叠加法计算梁中点C的挠度和两端截面A、B的转角。 （a） 　　　 （b） （c） 图9-37 二、平面弯曲梁的变形计算 二、平面弯曲梁的变形计算 　　解：①梁的变形是均布荷载和集中力偶共同作用引起的，把梁上的荷载分为两种简单的荷载，如图9-37（b）、（c）所示。 　　 ②查表可知 　　梁在均布荷载单独作用下 梁在集中力偶单独作用下 ， ， ， ， 二、平面弯曲梁的变形计算 ③根据叠加原理可得 三、梁的刚度校核 　　1. 梁的刚度条件 　　在实际工程中，根据强度条件对梁进行设计后，常常还要对梁进行刚度校核，即核查梁的位移是否在规定的范围内。在土建工程中通常只校核梁的挠度，其许用值通常以最大挠度f与梁跨度l的比值作为标准。梁的刚度条件为 （9-19） 三、梁的刚度校核 　　2. 梁的刚度校核 　　根据梁的刚度条件可以对梁进行刚度计算，在工程实际中主要是梁的刚度校核。 　　【例9-11】 图9-38所示为一建筑主梁，跨长l=4m，梁上荷载，梁为25b工字钢，梁上作用荷载q=30kN/m,许用挠跨比[f/l]=1/500，弹性模量E=2.10×105MPa，试校核此梁的刚度。 图9-38 三、梁的刚度