贵州省遵义市2024届高三第二次模拟测试数学试题

遵义市2024届高三第二次模拟测试试卷 数学 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．样本数据11 ，12 ，13 ，15 ，16 ，13 ，14 ，15 ，11的第一四分位数为 A．11.5 B．12 C．12.5 D．13 2．已知数列的前项和 ，，则 A．16 B．17 C．18 D．19 3．已知单位向量满足，则与的夹角为 A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则整数的值为 A．4 B．5 C．6 D．7 5．若函数在上有且仅有一个零点，，则 A． B．1 C． D．2 6．已知平面满足，下列结论正确的是 A．若直线，则或 B．若直线，则与和相交 C．若，则，且 D．若直线过空间某个定点，则与成等角的直线有且仅有4条 7．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是 A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知实数 ， ，满足，则下列结论正确的是 A． B． C． D．若，则的最小值为2 10．关于复数，下列结论正确的是 A． B．若 C．若，则 D．若，则在复平面内对应的点的轨迹为一条直线 11．已知平面内曲线：，下列结论正确的是 A．曲线关于原点对称 B．曲线所围成图形的面积为 C．曲线上任意两点同距离的最大值为 D．若直线与曲线交于不同的四点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．三角形中，角所对的边分别为，若 ，则  . 13．某校开展劳动技能比赛，高三（1）班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女生各至少1人，则不同的选派方案共有  种. 14．如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为  ；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为  . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知直线过点，抛物线. （1）若直线与抛物线于,两点，且中点的横坐标为3，求直线的方程； （2）若直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程. 16．（15分） 商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动.规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束. （1）求顾客3次取球后持有分数的数学期望； （2）设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为； ①证明：是等差数列； ②求顾客获得一等奖的概率. 17．（15分） 通过化学的学习，我们知道金刚石是天然存在的最硬的物质，纯净的金刚石是无色透明的正八面体形状的固体，如图1是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，从图中可以看出，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接，从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离相等的位置，如图2所示： （1）在金刚石的碳原子空间结构图（图2）中，求直线与直线所成角的余弦值； （2）若四面体和正八面体的棱长相等，现将两几何体拼接起来，使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体，判断新多面体为几面体，并说明理由. 18．（17分） 函数有且只有两个零点. （1）求实数的取值范围； （2）已知为常数，设函数，若，求的值. 19．（17分） 设集合或，中的元素，，定义：.若为的元子集，对，都存在，使得，则称为的元最优子集.