4.2.2等差数列前n项和公式应用课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2第2课时　等差数列的前n项和公式的应用 1.等差数列的前n项和公式的实际应用 [大本例1]　我国数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”大致意思是：一个老人有九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的年龄开始排列，后面一个儿子比前面一个儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？(　　) A．38　　　　　　　　 B．35 C．32 D．29 　 1.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块C．3 402块 D．3 339块 2.等差数列前n项和的最值问题 例 题 讲 解 当n >1时： ①  当n=1时： 也满足①式. 变 式 训 练 当n >1时： ①  当n=1时： 不满足①式. 点评： 分类讨论思想 ● 如果一个数列 的前n项和为 其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？ （1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列. （2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列. 结论：数列是等差数列等价于 常数项为0的关于n的二次型函数 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ， 则λ的值是（ ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 A+B=a1 C 小结：等差数列的前n项和公式： 探究：若{an}成等差数列,则{ }是个什么数列？ 等差数列 例 题 讲 解 【解析】由题意知，等差数列的公差为 于是，当n取与 最接近的整数即7或8时， 取最大值.. 函数思想 还有其它方法吗？ 例 题 讲 解 从等差数列的通项公式出发来分析 [大本例2]　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 归纳:求等差数列前n项和 最值的方法： （1）用等差数列前n项和的函数表达式 通过配方求二次函数最值的方法求解； （2）通过等差数列通项公式，用邻项变号的方法： 注意：当数列中有数值为0时，n应有两解. 练习 练习 练习   (1)求公差d的取值范围;   (3)指出 中哪一个最大,并说明理由.   练习   (1)求公差d的取值范围;   (3)指出 中哪一个最大,并说明理由. (2)解：由（1）知：S12=6（a6＋a7）＞0 ∴a6＋a7＞0 又S13=13a7＜0，∴a7＜0 ∴又d＜0 ∴a1＞a2＞.......＞a6＞0＞a7 ∴前6项和最大，即S6最大. (3)当n=6时， 最大， 是{ }中最小的正数项，故 是 中最大的一项 法二 3.数列{|an|}的前n项和 例 题 讲 解 例 题 讲 解 归纳：已知数列{an}的通项公式,求数列{︱an ︱}的前n项和Tn. 例 题 讲 解 4.等差数列的综合应用 [大本例4]　已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1 011,2)．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f(n)，n∈N*，求S2 021. 分析：由函数f(x)的图象的对称中心为(1 011,2)，得f(2×1 011－x)＋f(x)＝2×2，即f(2 022－x)＋f(x)＝4，即有a2 022－n＋an＝4，n∈N*，因此可用倒序相加法求和． 【本节小结】 1.等差数列的前n项和公式 3.推导等差数列前n项和公式方法