4.2.2等差数列的前n项和公式课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

1.等差数列前n项和公式 讲课人：邢启强 有一次，老师和高斯经过 建筑工地，建筑工地上放 着一堆圆木，从上到下每 层的数目分别为1，2，3， ……，100 . 老师问： 高斯，你知道共有多少 根圆木吗？ 问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100=？ 创设情景 讲课人：邢启强 高斯的算法 计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组： 第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，…… 每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了. 高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. 首尾配对相加法 中间的一组数是什么呢？ 讲课人：邢启强 大家都知道这个算法，这从另一个角度表明这种方法的巧妙与高明！ 3.数列前n项和的定义 讲课人：邢启强 探索与发现：第1层到21层一共有多少根圆木？ S21=1 + 2 + 3 + … + 21 2S21= (1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1) S21= 21 + 20 + 19 + … + 1 21个22 高斯的办法行吗？   讲课人：邢启强 假如最上面一层有很多 支铅笔，老师说有n支. 问：这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 若用首尾配对相加法，n可能是奇数也可能是偶数，需要分类讨论.如何避免讨论？ 4.推导公式 讲课人：邢启强 6 第一层有很多支铅笔，老师一下没数清，就直接问，第一层有n支. 倒序相加法 对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？ ① ② 4.推导公式 讲课人：邢启强 7 探究，给学生以充足的时间。提问：1、命名；2、计算1+2+3+…+100可以用吗？当N＝2K+1，中间一项为K,K+2,k+1 ① ② 4.推导公式 倒序相加法 讲课人：邢启强 8 重点、难点突破。两法化简右式 等差数列的前n项和的公式： 思考：两个公式有何特点？     4.推导公式 （公式一） （公式二） 讲课人：邢启强 9 用文字语言表述公式一。引出另一个公式，另一种证明方法？可知sn是n的二次函数（放在教例3及探究讲）。知三求一，解释知三求二，让学生推导。 公 式 记 忆 n a1 an n a1 a1 (n-1)d 将图形分割成一个平行四边形和一个三角形. 如何类比梯形面积公式来记忆等差数列前n项和公式？ 讲课人：邢启强 想一想 在等差数列 {an} 中，如果已知5个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ? 结论：知 三 求 二 讲课人：邢启强 5.应用 知三求二 [大本例1]　在等差数列{an}中．(1)a1＝4，S8＝172，求a8和d；(2)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n；(3)a3＋a15＝40，求S17；(4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，求n. 讲课人：邢启强 12 请两位同学上台做。可利用“上页”、“下页”回顾公式。 讲课人：邢启强 讲课人：邢启强 5.应用总结 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn这五个量可以“知三二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质： 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn结合使用． 讲课人：邢启强 2.等差数列前n项和公式的性质 讲课人：邢启强 知识梳理·自主探究 [问题1] (1)已知等差数列{an},则a1+a2,a3+a4,a5+a6有怎样的关系? 提示:(1)a3+a4=(a1+a2)+4d,a5+a6=(a3+a4)+4d, 所以(a5+a6)-(a3+a4)=(a3+a4)-(a1+a2)=4d, 即a1+a2,a3+a4,a5+a6构成等差数列. (2)我们知道,a1+a2=S2,a3+a4=S4-S2,a5+a6=S6-S4,则上述关系可以描述为一个怎样的结论?这个结论可以推广吗? 提示:(2)如果{an}是等差数列,那么S2,S4-S2,S6-S4也成等差数列.这个结论可以推广. 知识探究 讲课人：邢启强 1.等差数列“片段和”的性质 若公差为d的等差数列{an}的前n项