3.3.1抛物线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程 1. 了解抛物线的形成过程，理解抛物线的定义．　 2. 了解抛物线标准方程的推导过程， 理解不同建系方法对标准方程的影响． 学习目标 l 当0＜e ＜1时 复习： 椭圆 设动点M 到定点F 的距离和它到 定直线L 的距离的比是常数e F M 当e >1时 l F M 双曲线 问: 当e＝1时, 动点M的轨迹是什么曲线呢？ l F M 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 H E F 抛物线的定义 定点F: 定直线l: l F K M N 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 抛物线的焦点 抛物线的准线 F 一条直线！ 知识点1： 抛物线的定义 类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应该怎样选择坐标系，建立抛物线的标准方程吗？ 建系 设点 列式 化简 · · F M l N 如何建立直角坐标系？ 想一想: 解：取过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K, 以KF的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图。 设 l F K M N y x o 抛物线的标准方程: 焦点到准线的距离 l F K M N y x o 它表示的抛物线的 焦点在__轴的__半轴上， 坐标是______, 它的准线方程是______. x 正 p 的几何意义： 若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下， 你能根据上述办法求出它的标准方程吗？ F M l N · · y x F M l N · · H F M l N · · O F M l N · · x H y O 12 12 12 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 . . . 13 13 【归纳总结】 1.对抛物线定义的两点说明 (1) 定直线l不经过定点F. (2) 定义中包含三个定值, 分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 2.抛物线标准方程的特点 (1)是关于x, y的二元二次方程. (2)p的几何意义是焦点到准线的距离. 3.四种位置的抛物线的标准方程的对比 (1)共同点: ①原点在抛物线上; ②焦点在坐标轴上; ③焦点的非零坐标都是一次项系数的 . (2)不同点: ①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2; 焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2. ②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同, 焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号; 开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同, 焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号. 口诀： 一次项定轴，系数定向； 焦点与方程同号，准线与方程异号． 特别提醒: 1.平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线. 2.注意每种情况下的焦点与准线方程的对应关系. 知识点2： 由抛物线方程求焦点坐标、准线方程 知识点3： 抛物线的最值问题 知识点4：抛物线的实际应用 知识点5：与抛物线有关的轨迹问题 知识点5：与抛物线有关的轨迹问题 知识点6：二次函数图像与抛物线的关系 完成小本 作业 例1、已知抛物线方程如下，分别求其焦点和准线方程． (1)y＝6x2； (2)4y2＋7x＝0. 解：(1)将y＝6x2变形得x2＝eq \f(1,6) y，故2p＝eq \f(1,6)， ∴p＝eq \f(1,12)，抛物线开口向上． ∴焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,24)))，准线方程为y＝－eq \f(1,24). (2)将4y2＋7x＝0变形为y2＝－eq \f(7,4)x. ∴2p＝eq \f(7,4)，p＝eq \f(7,8)，抛物线开口向左． ∴焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,16)，0))，准线方程为x＝eq \f(7,16). 典例：一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道， 已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值． 解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系， 则点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(a,4)))，如图所示． 设隧道所在抛物线方程为x2＝my， 则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＝m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))，∴m＝－a. 即抛