江苏省南京市中等专业学校2023-2024学年高二上学期（对口单招班）期末调研检测数学试题

江苏省南京市中等专业学校2023～2024学年度第一学期 二年级期末调研检测 数学试卷（对口单招班） （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知向量，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数满足，则的辐角主值等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则与其垂直的单位向量是（ ） A. B. C. D. 4. 是复数为实数（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 化简得（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则的值为（ ） A. 20 B. C. D. 7. 若圆锥底面半径均为1，且它的轴截面为等腰直角三角形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，为中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，方程有两个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，若且方向相反，则的坐标是______． 12. 已知复数所对应的点在复平面上的第二象限，那么实数的取值范围是______． 13. 已知向量，函数，则______． 14. 双曲线焦点在坐标轴上，且双曲线过，则双曲线的方程为______． 15. 已知抛物线过点引一条弦使为它的中点，则此弦所在的直线方程为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 若关于x的不等式在R上恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 17. 设复数满足关系式，又是实系数一元二次方程的一个根. （1）求复数． （2）求值． 18. 当实数为何值时，复数是： （1）虚数； （2）表示的点位于复平面内的直线上 19. 已知和的夹角为120°，且 （1） （2）与夹角余弦值 20. 近年来，“共享单车”出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便．某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两个城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足：，乙城市收益与投入（单位：万元）满足：． （1）当甲城市的投入为25万元时，求甲、乙两个城市的投资总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 21. 如图，在正三棱柱中，侧棱和底面边长都是是的中点， （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且图象过点，当时，． （1）求的值； （2）求时，函数的解析式； （3）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围． 23. 在矩形中中，已知．以的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求以为焦点，且过两点的椭圆的标准方程； （2）过点的直线交（1）中椭圆于两点，是否存在直线，使得以弦为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 江苏省南京市中等专业学校2023～2024学年度第一学期 二年级期末调研检测 数学试卷（对口单招班） （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）且 （2）或 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）万元 （2）甲城市30万元，乙城市50万元 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【22题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【23题答案】 【答案】（1） （2）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$