新结构概率压轴的常见的新情境汇编-2024届高三数学二轮复习专题

近期概率压轴的常见的新情境汇编 ★类型1.概率递推与马尔科夫链 一．真题回溯 1．（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 二．热门模考题展示 2.（24届东北三省四市联考T19）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食，东北人的热情，还有东北的洗浴中心，南方游客直接拉着行李箱进入，拥挤程度堪比春运．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，并在平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y（千张） 1.90 1.98 2.20 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.70 0.40 经计算可得：． （1）因为优惠券购买火爆，平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程；（结果中的数值用分数表示） （2）若购买优惠券的顾客中选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且选择A套餐需要用一张优惠券，选择B套餐需要用两张优惠券，记平台累计销售优惠券为n张的概率为,求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列． ①求数列的最值； ②数列收敛的定义：已知数列,若对于任意给定的正数ε，总存在正整数,使得当时，,（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列收敛．参考公式：． 3.（24届深圳中学高三二检）某不透明箱子中有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和3个黄球. （1）若把所有小球拿出来按顺序排成一排，求所有不同排列方法的种数； （2）若采取不放回的方式每次从箱子中随机取走一个球,直至取到红球为止，在这过程中记取到的白球数为，求的分布列； （3）若一开始先把箱子里的黄球全部取出来,然后按以下规则每次取一个球；若取到红球,则把红球拿走并重新放入一个白球；若取到白球，则把白球拿走并重新放入一个红球.重复这个操作次后；记箱子里红球个数为，求的数学期望. ★类型2.极大似然估计 一．基本原理 （1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加；当时， ，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大. （2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题， 这可以用导数求函数最值与最值点. 分析： 当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值. 3.2超几何分布的概率最值 将从件产品中取出件产品的可能组合全体作为样本点，总数为.其中，次品出现次的可能为.令，则所求概率为 即.令则当时，；当时，，即当时，是关于的增函数；当时，是关于的减函数.所以当时，达到最大值. 二．热门试题展示 4.（24届杭州市高三二模T19）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． 注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． （2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计． 具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． ★类型3.概率公式与复杂事件概率计算 1.常见赛制 赛制1.局胜制. 这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，