8.2.1一元线性回归模型8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计讲义2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学导学案 新授课 2课时 8.2.1　一元线性回归模型 8.2.2　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 【课标要求】 1.了解随机误差、残差、残差图的概念,会通过残差分析判断线性回归模型的拟合效果. 2.了解回归分析的基本思想方法和初步应用. —————————课前案—————————— 【知识梳理】 知识点1　一元线性回归模型 我们称该式为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或响应变量,x称自 变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机 误差. 过关自诊1 1.判断正误. (1)两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差.(　　) (2)在画两个变量的散点图时,响应变量在x轴上,解释变量在y轴上.(　　) (3)随机误差一般是不可观测的随机变量.(　　) 知识点2　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 1. 经验回归方程 2.残差与残差分析 对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 称为预测值,观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.在残差图中,当残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任何一组数据都可以由最小二乘法得出经验回归方程.(　　) (2)残差平方和越接近0,线性回归模型的拟合效果越好.(　　) (3)R2越小,线性回归模型的拟合效果越好.(　　) (4)进行回归分析前,要先进行相关性的分析.(　　) (5)经验回归直线过样本点的中心( ). 2.在回归分析中,利用经验回归方程求出的值一定是真实值吗?为什么? —————————课中案—————————— 探究点一：求经验回归方程 【例1】 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据: (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,建立y关于x的经验回归方程; (3)试根据求出的经验回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力. 规律方法　求经验回归方程: 变式训练1 (2022陕西咸阳月考)某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度,并将所得数据分成五组,绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)估计口罩生产车间工人生产速度的中位数(结果写成分数的形式); (2)为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作年限有关,现从车间所有工人中随机调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄(参加工作的年限),所得数据如表: 根据上表数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的经验回归方程 探究点二：回归分析 【例2】 某运动员训练次数x与成绩y的数据如下: (1)作出散点图; (2)建立成绩y关于次数x的经验回归方程; (3)作出残差图; (4)计算R2,并用R2说明拟合效果的好坏. 规律方法　 1.解答本类题目应先通过散点图、样本相关系数来分析两个变量是否线性相关,再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程,并利用残差图或R2来分析模型的拟合效果. 2.“R2、残差图”在回归分析中的作用: (1)R2是用来刻画回归效果的,由R2=1- ,可知R2越大,意味着残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好. (2)残差图也是用来刻画回归效果的,判断依据是:残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定. 变式训练2 在一段时间内,某种商品的价格x(单位:元)和需求量y(单位:件)之间的一组数据如下: 已知x与y线性相关,求出y关于x的经验回归方程,并用R2说明拟合效果的好坏. 探究点三：求非线性经验回归方程 【例3】 某地区六年来轻工业产品利润总额y(单位:亿元)与年次x的数据如下: 由经验知,年次x与利润总额y(单位:亿元)近似有如下关系:y=abxe0.其中a,b均为正数,求y关于x的经验回归方程. 规律方法　非线性经验回归方程的求法 变式训练3 某展会一天上午9点半到下午2点的即时参观人数如下表: 已知时间与参观人数具有很强的相关关系,试求出这段时间内即时参观人数关于时间的经验回归方程. 【课堂小结】 学科网（北京）股份有限公司 $$