9.2 正弦定理与余弦定理的应用（教学课件）高一数学人教B版必修第四册

9.2 正弦定理与余弦定理的应用 你能不能根据我们学过的正、余弦定理来测量故宫角楼的高度？ 1.能根据题意建立数学模型，画出示意图. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量高度、距离、角度有关的实际问题.（难点） 探究点1：求建筑物高度 思考：如图对于底部和顶端都不能到达的故宫角楼的高度，如果只有米尺和测量角度的工具，如何在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度？ 如下图所示，设线段 AB 表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置 C 进行测量； A B C α 图中∠ACB 可通过仪器测得； 点 A、B 不易到达，故 ABC 的 3 条边均无法用米尺测量. A B C α D β θ m γ φ 如图所示，在可到达的地方再选定一点 D，并使得 CD 的长 m 能用米尺测量； 再用测量角度的仪器测出∠BCD = β，∠BDC = γ，∠ACD = θ，∠ADC = φ； 利用 α，β，γ，θ，φ 以及 m 即可求出 AB 的长. 在 △BCD 中，因为∠CBD = π – β – γ，所以由正弦定理可得 = ，因此 BC = ； 同理，从 ACD 可得 AC = ；最后，在 ABC 中，根据 AC，BC，α，利用余弦定理就可以得出 AB 的长. 探究点2：求两点间距离 如图所示，A，B 是某沼泽地上不便到达的两点，C，D 是可到达的两点. 已知 A，B，C，D 4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB = 45°，∠BCD = 30°，∠CDA = 45°，∠BDA = 15°，CD = 100 m，求 AB 的长. 因为A，B，C，D 4点都在水平面上， 所以∠BDC = ∠BDA + ∠CDA = 15°+ 45°= 60°， 因此∠CBD = 180°– 30°– 60°= 90°， 所以在 Rt△BCD中，BC = 100cos 30°= 50 (m)； 在△ACD中，因为∠CAD = 180°– 45°– 30°–45°= 60°， 所以由正弦定理可知 = ，因此 AC = ； 在△ABC中，由余弦定理可知 AB = . 例1 解析 跟踪训练 河对岸有两目标，但不能到达，在岸上选取相距的两点，并使,且A,B,C,D在同一平面内，求两目标A,B的距离. 提升总结：在解决实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为： 实际问题 数学模型 实际问题的解 数学模型的解 画图形 解三角形 检验（答） 探究点3：求解角度问题 实际应用问题中有关的名称、术语： 1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如下图所示． 2.方向角：按照上北下南，左西右东的规定画出东南 西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线. （1）北偏西30° （2）南偏东20° （3）北偏东60° （4）西南方向 2.方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角，方位角的取值范围为0°～360°. 例如：方位角120° 如图所示，在某海滨城市 A 附近的海面出现台风活动. 据监测，目前台风中心位于城市 A 的东偏南 60°方向、距城市 A 300 km的海面点 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北 30°方向移动. 如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为 100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市 A 是否会受到上述台风的影响. 如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由. A P 60° 30° 例2 如图所示，设台风的中心 x h 后到达位置 Q，且此时 AQ = 100 km； 在 △AQP 中，有 P = 60°– 30°= 30°，且 AP = 300 km，PQ = 20x km， 因此由正弦定理可得 = = ； 解得sin Q = = ，所以 Q = 60°或 Q = 120°. 当 Q = 60°，A = 180°– 30°– 60°= 90°， 因此 20x = ，x = 10； 当 Q = 120°，A = 30°，因此 20x = 100，x = 5； 综上，城市 A 在5 h 后会受到影响，持续时间为10 - 5 = 5 ( h ). A P 60° 30° Q 解析 如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得.已知山高，则山高. 跟踪训练 150 位于某海域 A 处的甲船获悉，在其正东方向相距 20 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险后