第5.2.3讲 简单复合函数的导数-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章《一元函数的导数及其应用》 第5.2.3讲 简单复合函数的导数 [核心素养·学习目标] 学习目标 学科素养 A.了解复合函数的概念． B．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数． 1.数学抽象：复合函数 2.逻辑推理：复合函数的求导法则 3.数学运算：复合函数的求导 课前预习 预习01　复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 ． 预习02　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 知识讲解 1复合函数 对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作． 2 简单复合函数的导数 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 3 性质 (1)若函数为可导的偶函数，则为奇函数； (2) 若函数为可导的奇函数，则为偶函数. 证明 (1) 方法1 若为可导的偶函数，则， 两边求导得，所以为奇函数； 方法2 ， 是偶函数， ， ，所以为奇函数. (2) 类似(1)的证明. 【大招总结】 大招1 复合函数求导技巧 (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 典型例题 【例1】求下列函数的导数： （1）； （2）； （3） （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【详解】 （1）； （2） ； （3）因为， 所以． （4）． （5）． 【变式】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的求导法则即可求解. 【详解】因为函数， 所以， ， 故选：. 【例2】已知，是f（x）的导函数，则（ ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【详解】 函数的导数为， 则. 故选：B. 【变式】下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的基本运算与复合导数的运算法则求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：B 【例3】已知函数，曲线在点处的切线方程为，则______． 【答案】2 【详解】 由题知：． 又因为直线的斜率为，且过点， ∴，即，解得，∴． 故答案为：2. 【变式】已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 是奇函数，可得 ，两边求导推得，，再结合题意可得4是函数的一个周期，且，进而可求解． 【详解】因为 是奇函数，所以 ， 两边求导得 ， 即， 又， 所以 ，即， 令 ，可得 ， 因为是定义域为的奇函数，所以，即． 因为是奇函数， 所以 ，又， 所以，则，， 所以4是函数的一个周期， 所以． 故选：B． 强化训练 1．若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（，）在处的切线斜率为，若在上只有一个零点，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 3．对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．若为奇函数，则曲线在处的切线的斜率为 A． B． C． D． 6．已知函数，令，，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．函数的导数是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数为可导偶函数，（为常数），若，则（    ） A． B． C．2 D．0 9．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．设，则 10．已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．下列函数的图象与直线，（为常数）相切的有（ ） A． B． C． D． 12．已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递减 D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称 13