专题9.1 分式的混合运算与化简求值（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题9.1 分式的混合运算与化简求值 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 · 知识点总结 一、分式的乘除法法则 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1．分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： 2．分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： 3．分式的乘方：分子、分母分别乘方。= 4．运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 二、分式的加减法则 1．同分母分式：分母不变，分子相加减 2．异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分；②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。 · 典例分析 【典例1】知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）计算：________ ； （3）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【思路点拨】 （1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可． 【解题过程】 （1）解：将看成一个整体，令， 则原式． （2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． （3）解：①∵， ∴ ． ②∵， ∴ ． · 学霸必刷 1．（22-23七年级下·浙江·期中）设满足且，则的值为（　　） A．-1 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）已知，，，…，（n为正整数，且，1），则用含t的式子的结果为（    ） A．t B．－t C． D． 3．（22-23九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　） A．12 B．14 C． D．9 5．（2024七年级·全国·竞赛）已知实数满足等式，且，则 ． 6．（2024八年级·全国·竞赛）设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 7．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足．则 ． 8．（23-24八年级上·全国·课时练习）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 9．（23-24八年级上·山东青岛·自主招生）已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 10．（2023九年级·全国·专题练习）计算的值． 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知 为整数，且满足 ，求 的值． 12．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）先化简，后求值：，其中x，y满足． 13．（22-23八年级上·湖南岳阳·期末）已知，，，求的值． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：，． （1）当时，计算的值； （2）当时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）设，若均为非零整数，求的值． 15．（2024八年级·全国·竞赛）设n为正整数，且， ， … ． （1）求证：； （2）若，求正整数a，b的值． 16．（2023九年级上·福建泉州·专题练习）阅读下列材料： 消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法． （1）已知，，则______； （2）已知，，求证：； （3）已知（其中、、互不相等），求的值． 17．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察： 同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着