函数与导数专题训练-2024届高三数学二轮专题复习

第六篇 导数 专题01 导数中的计算问题 1、 高考再现，品味真题 1.（2023年·全国新高考I卷）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 2.（2022年·全国新高考I卷）已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 3.（2021·全国新高考I卷）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 4.（2020·全国新高考I卷）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 2、 模拟训练，冲刺高考 1．已如曲线在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若恒成立，求的取值范围. 2．已知函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若，函数的最小值为，且，求的最小值． 3．已知函数． (1)若函数有两个极值点，求的取值范围； (2)若曲线在点处的切线与轴垂直，求证：． 4．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 5．已知函数． (1)证明：函数有三个不同零点的必要条件是； (2)由代数基本定理，次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）． 若，证明：方程至多有3个实数根． 6．设函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的单调区间和极值. 7．已知函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围． 8．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求a的取值范围． 9．已知函数，． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围． 10．已知． (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 11．已知a为常数，函数. (1)当时，求的图象在处切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)若函数有两个极值点，（），求证. 12．已知函数，． (1)若存在零点，求a的取值范围； (2)若，为的零点，且，证明：． 13．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时， ．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． (1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明； (3)设，证明：． 14．已知函数，且在点处的切线的斜率为．设函数的最大值为． (1)求的值； (2)求证：； (3)若不等式，求实数的最大值． 15．已知函数． (1)若只有一个极值点，求实数的取值范围； (2)若在处取得极值，且，证明：． 16．已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)若有两个极值点，（）. ①求实数b的取值范围； ②证明：. 17．当时，总有不等式成立． (1)求实数的取值范围； (2)设方程，试确定该方程实根的个数，并证明你的结论． 18．已知函数． (1)如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值． 19．已知函数，． (1)求函数的图像在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 20．已知函数． (1)若，曲线在点处的切线与直线垂直，证明：； (2)若对任意的且，函数，证明：函数在上存在唯一零点． 21．已知函数 (1)讨论 的单调性. (2)证明:当时, (3)证明: 22．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式恒成立，求的取值范围； (3)当时，试判断函数的零点个数，并给出证明． 23．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若存在，且，使得，求证：. 24．已知函数． (1)对任意恒成立，求的取值范围； (2)有两个解，，求证：． 25．已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六篇 导数 专题01 导数中的计算问题 1、 高考再现，品味真题 1.（2023年·全国新高考I卷）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【分析】（1）先求导，再分类讨