第05讲 9.2.3 总体集中趋势的估计（知识清单+6类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第05讲 9.2.3 总体集中趋势的估计 课程标准 学习目标 ①会求样本数据的众数、中位数、平均数。 ②理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势。 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势． 知识点01：总体集中趋势的估计 （1）平均数 ①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. ②特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时的可靠性降低. 【即学即练1】（2023下·广东揭阳·高一统考期末）在测量工作中，测得一组数据为2，6，7，5，9，17，10，则这组数据的平均数为 ，第75百分位数是 ． 【答案】 8 10 【详解】把2，6，7，5，9，17，10，从小到大排列为：2，5，6，7，9，10，17， 平均数为， 这组数据共7个，，则这组数据的第75百分位数是第6个数10. 故答案为：8， 10. （2）众数 ①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。 ②特征：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势. （3）中位数 ①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. ②特征：一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. 【即学即练2】（2022上·贵州黔西·高二校考期末）惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平均数， 中位数， 众数， 故. 故选：D. 知识点02：三种数字特征的优缺点 名 称 优 点 缺 点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众 数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 知识点03：在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 【即学即练3】（2023下·山东枣庄·高一统考期末）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.    (1)求频率分布直方图中，的值； (2)估计该班学生数学成绩的平均分和中位数. 【答案】(1) (2)平均分、中位数分别为， 【详解】（1）由已知得， 则，所以. （2）该班学生数学成绩的平均分的估计值为： ， 因为， ， 所以中位数在内. 故中位数为. 题型01 计算众数 【典例1】（2024上·湖南邵阳·高一统考竞赛）如果将一组数据5、4、6、5、4、13、5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（　　） A．中位数和众数都是5 B．众数是10 C．中位数是4 D．中位数、平均数都是5 【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 63    38    25    42    56    48    53    39    28    47 45    52    59    48    51    62    48    50    52    38 (1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数； (2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？ 【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比